利普希茨连续

在数学中，特别是实分析，利普希茨连续（Lipschitz continuity）以德国数学家鲁道夫·利普希茨命名，是一个比通常连续更强的光滑性条件。直觉上，利普希茨连续函数限制了函数改变的速度，符合利普希茨条件的函数的斜率，必小于一个称为利普希茨常数的实数（该常数依函数而定）。

在微分方程，利普希茨连续是皮卡-林德洛夫定理中确保了初值问题存在唯一解的核心条件。一种特殊的利普希茨连续，称为压缩应用于巴拿赫不动点定理。

利普希茨连续可以定义在度量空间上以及赋范向量空间上；利普希茨连续的一种推广称为赫尔德连续。

对于在实数集的子集的函数${\displaystyle f:<!--\; :\; -->D\subseteq <!--\; \subseteq \; -->\mathbb{R}\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}}$ ，若存在常数${\displaystyle K}$，使得${\displaystyle |f(a)-<!--\; -\; -->f(b)|\le <!--\; \le \; -->K|a-<!--\; -\; -->b|\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}a,b\in <!--\; \in \; -->D}$，则称${\displaystyle f}$ 符合利普希茨条件，对于${\displaystyle f}$ 最小的常数${\displaystyle K}$ 称为 ${\displaystyle f}$ 的利普希茨常数。

若，${\displaystyle f}$ 称为收缩映射。

利普希茨条件也可对任意度量空间的函数定义：

给定两个度量空间${\displaystyle (M,d_M),(N,d_N)}$，${\displaystyle U\subseteq <!--\; \subseteq \; -->M}$。若对于函数${\displaystyle f:U\to <!--\; \to \; -->N}$，存在常数${\displaystyle K}$ 使得

则说它符合利普希茨条件。

若存在${\displaystyle K\ge <!--\; \ge \; -->1}$使得

则称${\displaystyle f}$为双李普希茨(bi-Lipschitz)的。

若已知${\displaystyle y(t)}$有界，${\displaystyle f}$符合利普希茨条件，则微分方程初值问题${\displaystyle y^{\prime }(t)=f(t,y(t)),y(t_0)=y_0}$刚好有一个解。

在应用上，${\displaystyle t}$通常属于一有界闭区间（如${\displaystyle }$）。于是${\displaystyle y(t)}$必有界，故${\displaystyle y}$有唯一解。