利普希茨连续

✍ dations ◷ 2025-04-26 04:41:05 #微分方程,数学分析,利普希茨映射

在数学中,特别是实分析,利普希茨连续(Lipschitz continuity)以德国数学家鲁道夫·利普希茨命名,是一个比通常连续更强的光滑性条件。直觉上,利普希茨连续函数限制了函数改变的速度,符合利普希茨条件的函数的斜率,必小于一个称为利普希茨常数的实数(该常数依函数而定)。

在微分方程,利普希茨连续是皮卡-林德洛夫定理中确保了初值问题存在唯一解的核心条件。一种特殊的利普希茨连续,称为压缩应用于巴拿赫不动点定理。

利普希茨连续可以定义在度量空间上以及赋范向量空间上;利普希茨连续的一种推广称为赫尔德连续。

对于在实数集的子集的函数 f : D R R {\displaystyle f\colon D\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} } ,若存在常数 K {\displaystyle K} ,使得 | f ( a ) f ( b ) | K | a b | a , b D {\displaystyle |f(a)-f(b)|\leq K|a-b|\quad \forall a,b\in D} ,则称 f {\displaystyle f} 符合利普希茨条件,对于 f {\displaystyle f} 最小的常数 K {\displaystyle K} 称为 f {\displaystyle f} 的利普希茨常数。

K < 1 {\displaystyle K<1} f {\displaystyle f} 称为收缩映射。

利普希茨条件也可对任意度量空间的函数定义:

给定两个度量空间 ( M , d M ) , ( N , d N ) {\displaystyle (M,d_{M}),(N,d_{N})} U M {\displaystyle U\subseteq M} 。若对于函数 f : U N {\displaystyle f:U\to N} ,存在常数 K {\displaystyle K} 使得

则说它符合利普希茨条件。

若存在 K 1 {\displaystyle K\geq 1} 使得

则称 f {\displaystyle f} 为双李普希茨(bi-Lipschitz)的。

若已知 y ( t ) {\displaystyle y(t)} 有界, f {\displaystyle f} 符合利普希茨条件,则微分方程初值问题 y ( t ) = f ( t , y ( t ) ) , y ( t 0 ) = y 0 {\displaystyle y'(t)=f(t,y(t)),\quad y(t_{0})=y_{0}} 刚好有一个解。

在应用上, t {\displaystyle t} 通常属于一有界闭区间(如 {\displaystyle } )。于是 y ( t ) {\displaystyle y(t)} 必有界,故 y {\displaystyle y} 有唯一解。

相关

  • 随机分布概率分布(德语:Wahrscheinlichkeitsverteilung;英语:probability distribution)或简称分布,是概率论的一个概念。使用时可以有以下两种含义:称X和Y为同分布的随机变量,当且仅当对任
  • 公交车公交车可以表示以下一种意思:
  • 木卫木星拥有79颗已确认的天然卫星,是太阳系内拥有最大卫星系统的行星。当中最大的4颗,统称伽利略卫星,由伽利略于1610年发现,这是首次(除了月球)发现不是围绕太阳的天体。19世纪末起,
  • Cusub3/sub[Co(CN)sub6/sub]六氰合钴(III)酸铜(I)是一种无机化合物,化学式为Cu3,它可由化学计量比的六氟磷酸四乙腈合铜(I)和六氰合钴(III)酸钾在固态研磨反应得到,反应结束时混合物的颜色由白色转变为浅
  • 微 (micro-) 是国际单位制词头,指10-6,一百万分之一。它的语源是希腊语 μικρός (mikrós),代表符号是希腊字母 µ (mu)但(mu)通常只用在数学上且并非10-6,例如 µg micogr
  • 中医各家学说中医各家学说是指中国历史上发展出的基于中国医学传统的,以研究、讨论中医学思想理论及临床经验为主的各类中医学学术流派及其学说。而事实上人们所说的各家学说,多指以《黄帝
  • 路思义教堂坐标:24°10′44″N 120°36′02″E / 24.1787924°N 120.600518°E / 24.1787924; 120.600518路思义教堂(英语:The Luce Chapel)是一座位于台湾台中市西屯区东海大学的基督新教
  • A4高速公路 (塞尔维亚)A4高速公路(塞尔维亚语:Аутопут А4 / Autoput A4),是塞尔维亚一条正兴建中的高速公路,西起尼什(A1高速公路),东至接壤保加利亚边境并经保加利亚A7高速公路可通往首都保加利
  • 不能承受的天才之重《不能承受的天才之重》(英语:)是一部2021年美国动作喜剧片,由汤姆·葛米根(Tom Gormican)执导并与凯文·艾登(英语:Kevin Etten)共同编剧。尼古拉斯·凯奇在片中以本人的身份出演主
  • 朱慈焕朱慈焕(1633年-1637年),为明思宗第五子,母亲是恭淑端惠静怀皇贵妃田氏,在民间有朱三太子之称。虽然事实上的朱慈炯才是“朱三太子”,但因民间称太子朱慈烺为“悼皇帝”,二子朱慈烜一