余数

✍ dations ◷ 2025-05-15 10:14:42 #余数

在算术中，当两个整数相除的结果不能以整数商表示时，余数便是其“余留下的量”。当余数为零时，被称为整除。如果a和d是两个自然数，d非0，可以证明存在两个唯一的整数q和r，满足a = qd + r 且0 ≤ r < d。其中，q被称为商, r被称为余数。带余除法是一个关于如何计算余数的算法，其中提供了对此结果的证明。如果a 与d 是整数，d 非零，那么余数r 满足这样的关系：当这样定义时，可能导致两种可能的余数。例如，除法式子（−42) / (−5）的可以表达为或即余数可能是3或−2。这种对余数不明确的定义可能导致严重的计算问题，对于处理关键任务的系统，错误的选择会导致严重的后果。在一些组合语言系统中，会有特殊的除法指令，设定余数和被除数同号。在上面的例子，负余数为正余数减5得来，5即是除数d.通常，当除以d 时，如果正余数为r1，负余数为r2，那么Python2.7语言定义的除法中，不能整除的情况下，余数与除数同号，例如 (−42) / (−5) 表达为而 42 / (-5) 则表达为当a 和d 是实数，且d 非零, a 除以d 会得到另一个实数（商），没有所谓的剩余的数.但如果要求商为一个整数，则余数的概念还是有必要的。可以证明：存在唯一的整数商q 和唯一的实数r 使得: a = qd + r, 0≤ r < |d|.在整数除法里，余数可以要求为负，即满足关系: -|d| < r ≤ 0.如上在实数范围内扩展余数的定义在数学理论中并不重要;尽管如此，很多程序语言都实现了这个定义—参同余.

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