余数

✍ dations ◷ 2025-09-28 15:33:00 #余数
在算术中,当两个整数相除的结果不能以整数商表示时,余数便是其“余留下的量”。当余数为零时,被称为整除。如果a和d是两个自然数,d非0,可以证明存在两个唯一的整数q和r,满足a = qd + r 且0 ≤ r < d。其中,q被称为商, r被称为余数。带余除法是一个关于如何计算余数的算法,其中提供了对此结果的证明。如果a 与d 是整数,d 非零,那么余数r 满足这样的关系:当这样定义时,可能导致两种可能的余数。例如,除法式子(−42) / (−5)的可以表达为或即余数可能是3或−2。这种对余数不明确的定义可能导致严重的计算问题,对于处理关键任务的系统,错误的选择会导致严重的后果。在一些组合语言系统中,会有特殊的除法指令,设定余数和被除数同号。在上面的例子,负余数为正余数减5得来,5即是除数d.通常,当除以d 时,如果正余数为r1,负余数为r2,那么Python2.7语言定义的除法中,不能整除的情况下,余数与除数同号,例如 (−42) / (−5) 表达为而 42 / (-5) 则表达为当a 和d 是实数,且d 非零, a 除以d 会得到另一个实数(商),没有所谓的剩余的数.但如果要求商为一个整数,则余数的概念还是有必要的。可以证明:存在唯一的整数商q 和唯一的实数r 使得: a = qd + r, 0≤ r < |d|.在整数除法里,余数可以要求为负,即满足关系: -|d| < r ≤ 0.如上在实数范围内扩展余数的定义在数学理论中并不重要;尽管如此,很多程序语言都实现了这个定义—参同余.

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