态向量

在量子力学里，一个量子系统的量子态可以抽象地用态向量来表示。态向量存在于内积空间。定义内积空间为增添了一个额外的内积结构的向量空间。态向量满足向量空间所有的公理。态向量是一种特殊的向量，它也允许内积的运算。态向量的范数是1，是一个单位向量。标记量子态${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}$的态向量为${\displaystyle |\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->}$。

每一个内积空间都有单范正交基。态向量是单范正交基的所有基向量的线性组合：

其中，${\displaystyle |e_1⟩<!--\; ⟩\; -->,|e_2⟩<!--\; ⟩\; -->,\dots <!--\; \dots \; -->,|e_n⟩<!--\; ⟩\; -->}$是单范正交基的基向量，${\displaystyle n}$是单范正交基的基数，${\displaystyle c_1,c_2,\dots <!--\; \dots \; -->,c_n}$是复值的系数，是${\displaystyle |\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->}$的分量，${\displaystyle c_i}$是${\displaystyle |\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->}$投射于基向量${\displaystyle |e_i⟩<!--\; ⟩\; -->}$的分量，也是${\displaystyle |\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->}$处于${\displaystyle |e_i⟩<!--\; ⟩\; -->}$的概率幅。

换一种方法表达：

在狄拉克标记方法里，态向量${\displaystyle |\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->}$称为右矢。对应的左矢为${\displaystyle ⟨<!--\; ⟨\; -->\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}|}$，是右矢的厄米共轭，用方程表达为

其中，${\displaystyle †<!--\; †\; -->}$象征为取厄米共轭。

设定两个态向量${\displaystyle |\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->=(a_1,a_2,\dots <!--\; \dots \; -->,a_n{)}^T}$，${\displaystyle |\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->=(b_1,b_2,\dots <!--\; \dots \; -->,b_n{)}^T}$。定义${\displaystyle |\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->}$内积${\displaystyle |\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->}$为

这内积的结果是一个复数。

1）共轭复数

${\displaystyle |\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->}$内积${\displaystyle |\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->}$是${\displaystyle |\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->}$内积${\displaystyle |\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->}$的共轭复数：

2）归一性

定义${\displaystyle |\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->}$内积${\displaystyle |\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->}$的平方根为${\displaystyle |\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->}$的范数，标记为${\displaystyle |\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}|}$。由于态向量满足归一性，态向量的范数必定等于1：

3）柯西-施瓦茨不等式

柯西-施瓦茨不等式阐明：

费曼, 理查; 雷顿, 罗伯; 山德士, 马修. 費曼物理學講義III (2)量子力學應用. 台湾: 天下文化书. 2006: pp. 10–17. ISBN 986-417-672-2.  引文格式1维护：冗余文本 (link)