豪斯霍尔德变换

✍ dations ◷ 2025-10-22 16:18:32 #豪斯霍尔德变换

豪斯霍尔德变换（Householder transformation）或译“豪斯霍德转换”，又称初等反射（Elementary reflection），最初由A.C Aitken在1932年提出。阿尔斯通·斯科特·豪斯霍尔德（英语：Alston Scott Householder）在1958年指出了这一变换在数值线性代数上的意义。这一变换将一个向量变换为由一个超平面反射的镜像，是一种线性变换。其变换矩阵被称作豪斯霍尔德矩阵，在一般内积空间中的类比被称作豪斯霍尔德算子。超平面的法向量被称作豪斯霍尔德向量。

如果 ${displaystyle v}$ 到超平面的距离。

豪斯霍尔德变换可以将向量的某些元素置零，同时保持该向量的范数不变。例如，将非零列向量 ${displaystyle mathbf {x} =^{T}}$ ${mathbf {x}}=^{T}$ 变换为单位基向量 ${displaystyle mathbf {e} =^{T}}$ ${mathbf {e}}=^{T}$ 乘以一个常数的豪斯霍尔德矩阵为

其中豪斯霍尔德向量 ${displaystyle mathbf {v} }$ $mathbf {v}$ 满足：

Dubrulle 在2000年给出了将豪斯霍尔德变换应用于生成一个一般的稀疏向量的一个数值稳定的算法。

对一个矩阵的各个列向量逐一进行相应的豪斯霍尔德变换，可以将这个矩阵变换为上海森伯格矩阵、上三角矩阵等形式。后者就是QR分解的豪斯霍尔德算法。

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