素数倒数幻方

✍ dations ◷ 2025-11-23 11:46:13 #趣味数学,幻方

素数倒数幻方（prime reciprocal magic square）是指用素数倒数及其倍数的循环小数各位数组成的幻方。有些素数的倒数则可以形成对角线和也满足条件的幻方。

考虑在十进制下的1/7，其小数为循环小数1/7 = 0·142857142857142857...，若再考虑其倍数，会看到这六个数字的循环排列（英语：cyclic permutation）：

1/7 = 0·1 4 2 8 5 7...2/7 = 0·2 8 5 7 1 4...3/7 = 0·4 2 8 5 7 1...4/7 = 0·5 7 1 4 2 8...5/7 = 0·7 1 4 2 8 5...6/7 = 0·8 5 7 1 4 2...

若用上述数字形成方阵，每一列的和是1+4+2+8+5+7，即为27，每一行的和也是27，若不考虑对角线，因此可以形成一个幻方：

1 4 2 8 5 72 8 5 7 1 44 2 8 5 7 15 7 1 4 2 87 1 4 2 8 58 5 7 1 4 2

不过其对角线不是27。

考虑1/19的倍数，下一行是上一行的二倍，而小数位数似乎右移一位：

01/19 = 0.052631578,94736842102/19 = 0.1052631578,9473684204/19 = 0.21052631578,947368408/19 = 0.421052631578,94736816/19 = 0.8421052631578,94736

分子乘以2会让小数的位数右移一位：

在1/19形成的方阵中，其最大周期为18，每一行及每一列的和是81，而且对角线也是81，完全符合幻方的条件：

01/19 = 0·0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1...02/19 = 0·1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2...03/19 = 0·1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3...04/19 = 0·2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4...05/19 = 0·2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5...06/19 = 0·3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6...07/19 = 0·3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7...08/19 = 0·4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8...09/19 = 0·4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9...10/19 = 0·5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0...11/19 = 0·5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1...12/19 = 0·6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2...13/19 = 0·6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3...14/19 = 0·7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4...15/19 = 0·7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5...16/19 = 0·8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6...17/19 = 0·8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7...18/19 = 0·9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8...

在各素数在不同进制下，也可能会有相同的现象，以下是列表，列出素数、进制以及幻方和　（(进制-1) 乘 (素数-1) / 2：

Rademacher, H. and Toeplitz, O. The Enjoyment of Mathematics: Selections from Mathematics for the Amateur. Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 158–160, 1957.

Weisstein, Eric W. "Midy's Theorem." From MathWorld—A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/MidysTheorem.html

相关

屈折语屈折语（英语：fusional language，或称inflectional language）为综合语（synthetic language）之一种。屈折语和同为综合语的黏着语之间的分别在于屈折语的词素趋向连在一起，较为难以分
钻石认证钻石认证是对钻石的特征及成分进行宝石学分析。此类分析由认证宝石学家在独立实验室中完成。完成分析后，您将收到一份分析结果汇总报告，及钻石的详细草图。如果您拥有或想买GI
万家岭战役第九战区薛岳万家岭战役又称德安战役，1938年于武汉会战序列中，在万家岭一带国民革命军第九战区部队在指挥官薛岳的率领下于南浔铁路战场几近全歼日本军第101师团与第106师团。
刘岱刘岱（2世纪－192年），字公山，东汉东莱郡牟平县（今山东省烟台市福山区西北）人。他是西汉齐孝王刘将闾之子牟平共侯刘渫的后代，山阳太守刘舆（又名刘方）的儿子，扬州牧刘繇之兄。刘岱的伯父刘
比利亚夫拉德斯德坎波斯比利亚夫拉德斯德坎波斯（西班牙语：Villafrades de Campos），是西班牙卡斯蒂利亚-莱昂巴利亚多利德省的一个市镇。总面积21平方公里，总人口112人（2001年），人口密度5人/平方公里。
带龙纹身的女孩《带龙纹身的女孩》（瑞典语：、英语：，书名原意为“憎恨女人的男人”〔"Men Who Hate Women"〕），为瑞典作家、记者史迪格·拉森（Stieg Larsson）的一部获奖犯罪小说，为其“千禧年三部曲
胁往还胁往还，又称“胁街道”、“胁道”，是日本江户时代五街道以外的主要陆路交通要道与支线，属勘定奉行所管辖。因为五街道的关所通关除了脱衣查验之外还要检查私处，而胁往还的通关则
保罗·贝蒂保罗·贝蒂（Paul Beatty，1962年6月9日－）是一位美国小说家及诗人。贝蒂1980年毕业于加利福尼亚州的高校，及后分别在布鲁克林学院取得创意写作硕士学位及在波士顿大学取得心理学文
樊宏樊宏（前1世纪－51年），东汉南阳湖阳人。汉光武帝的舅舅。性情温厚，东汉建立后，封寿张侯。二十七年，卒。有子樊儵删定《公羊严氏春秋》章句，世号樊氏学。
她有名字她有名字是一部加拿大戏剧作品。创作者安德鲁·库曼。戏剧中的主要两个角色是加拿大律师杰森和自称15岁的年轻的妓女编号18。编号18说自己已经当了六年妓女。杰森相信编号18