舒尔正交关系

舒尔正交关系（Schur orthogonality relations）描述了有限群表示中的核心事实。它可以推广到一般的紧群，特别是紧李群，比如旋转群 (3)。此关系可借由舒尔引理证明。

令 ${\displaystyle {\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}^{(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})}(R{)}_{mn}}$| 阶（即 有 || 个元素）有限群 ${\displaystyle G=\{R\}}$ 的所有元素。如果两个矩阵是在同一个不可约表示 ${\displaystyle {\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}^{(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})}={\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}^{(\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})}}$ = 2）。在 ${\displaystyle S_3}$ 情形，通常将这个不可约表示利用杨氏表（杨氏矩阵）记作 ${\displaystyle \mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}=}$ 而在 ${\displaystyle C_{3v}}$ 情形通常写成 ${\displaystyle \mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}=E}$。在两种情形不可约表示都由如下六个实矩阵组成，每个代表一个群元素

元素 (1,1) 的正规化为：

同样可以证明其它矩阵元素 (2,2)、(1,2) 与 (2,1) 的正规化。元素 (1,1) 与 (2,2) 的正交性：

类似的关系对元素 (1,1) 与 (1,2) 的正交性成立，如是等等。容易验证此例中所有对应矩阵元素之和为零，因为给定表示与恒等表示的正交性。

矩阵的迹是对角矩阵元素之和，

所有迹的集合 ${\displaystyle \mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}\equiv <!--\; \equiv \; -->\{\mathrm{Tr}<!--\; \; -->(\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(R))|R\in <!--\; \in \; -->G\}}$ 是一个表示的特征标。通常将一个不可约表示中矩阵的迹写成 ${\displaystyle {\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}^{(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})}}$

利用这种记号我们可写出多个特征标公式：

这可以用来检验一个表示是否是可约的（这些公式说明在任意特征标表中一行是正交向量）。以及

这帮助我们确认不可约表示 ${\displaystyle {\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}^{(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})}}$ 在具有特征标 ${\displaystyle \mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}(R)}$ 的可约表示 ${\displaystyle \mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}$ 中包含的次数。

例如，如果

这个群的阶是

则 ${\displaystyle {\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}^{(\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->})}}$ 在给定“可约”表示 ${\displaystyle \mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}$ 中包含的次数是

关于群特征表参见特征标理论。

有限群的正交关系推广为紧群（包含紧李群，比如 SO(3)）本质上是简单的：只要将在群上的求和换成在群上的积分。

每个紧群 ${\displaystyle G}$ 有惟一一个双不变哈尔测度，使得群的体积是 1。将这个测度记成 ${\displaystyle dg}$。设 ${\displaystyle ({\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}})}$ 是 ${\displaystyle G}$ 的不可约表示的一个完备集合，设 是表示 ${\displaystyle {\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}$ 的矩阵系数。正交关系可以叙述为两部分1) 如果 ${\displaystyle {\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}≆<!--\; ≆\; -->{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}}$ 则：

2)如果 ${\displaystyle \{e_i\}}$ 是表示空间 ${\displaystyle {\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}$ 的一个正交规范基，则：

这里 ${\displaystyle d^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}$ 是 ${\displaystyle {\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}$ 的维数。这些正交关系以及所有表示的维数有限是彼得-外尔定理的推论。

一个三参数群的例子是矩阵群 SO(3)，有所有 3×3 正交矩阵组成。这个群的一个可能的参数化是利用欧拉角： ${\displaystyle \mathbf{x}=(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->},\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->})}$。界限是 ${\displaystyle 0\le <!--\; \le \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}\le <!--\; \le \; -->2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$ 以及 ${\displaystyle 0\le <!--\; \le \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\le <!--\; \le \; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$。

体积元素 ${\displaystyle \mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}(\mathbf{x})d{x}_{1}d{x}_2\cdots <!--\; \cdots \; -->d{x}_r}$ 的计算不仅取决于参数的选取，也取决于最终结果，即加权函数（测度） ${\displaystyle \mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}(\mathbf{x})}$ 的解析形式。

例如，SO(3) 的欧拉角参数化给出权重 ${\displaystyle \mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->},\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->})=\sin \mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->},}$，而 n, ψ 参数化给出权重t ${\displaystyle \mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}(\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->},\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->})=2(1-<!--\; -\; -->\cos <!--\; \; -->\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->})\sin \mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}$，其中 ${\displaystyle 0\le <!--\; \le \; -->\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}\le <!--\; \le \; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->},0\le <!--\; \le \; -->\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}\le <!--\; \le \; -->2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->},0\le <!--\; \le \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\le <!--\; \le \; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$。

可以证明一个紧李群的不可约表示是有限维的并可选成酉的：

简记成

正交关系具有形式

群的体积是

我们注意到 SO(3) 的不可约表示是维格纳D-矩阵（Wigner D-matrix）${\displaystyle D^{\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->})}$，它们的维数是 ${\displaystyle 2\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}+1}$。故

它们满足

任何以物理或化学为目的的群表示论书籍中都会提到正交关系。下面更高等的书籍给出了证明：