线性微分方程

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线性微分方程是数学中常见的一类微分方程。指以下形式的微分方程：

其中方程左侧的微分算子${\displaystyle \mathcal{L}}$ ，便得到了一个次方程：

这个方程() = 0称为特征方程。

一般地，把微分方程中以下的项

换成，便可得到特征方程。这个方程有个解：₁, ..., 。把任何一个解代入 ，便可以得到微分方程的一个解： 。由于齐次线性微分方程满足叠加原理，因此这些函数的任意线性组合仍然满足微分方程。

如果特征方程的根都不重复，我们便得到了微分方程的个解。可以证明，这些解是线性独立的。于是，微分方程的通解就是 = ₁  + ₂  + …… + _n ，其中₁、₂、……、_n是常数。

以上讨论了个根全不相同的情形。如果这个根中有两个（或多个）相同，用上面的方法就无法得出个线性独立的解。但是，可以验证，如果是特征方程的 重根，那么，对于 ${\displaystyle k\in <!--\; \in \; -->\{0,1,\dots <!--\; \dots \; -->,m_z-<!--\; -\; -->1\}}$，都能得到 个解，所有这些解的线性组合就是方程的通解。

一般地，如果微分方程的系数都是实数，那么它的解也应该表示成实数的形式。假如特征方程有复数根，那么它一定是成对的，也就是说，如果 + 是特征方程的根，那么 - 也是一个根。于是， =  ( + )和 =  ( - )都是微分方程的解。但这两个解都是复数的形式。考虑到这两个解的任意线性组合也仍然是微分方程的解，我们可以把这两个解相加，再除以2，利用欧拉公式，便得到一个实数形式的解： =  cos。如果把两个解相减，再除以2i，便得到另一个实数形式的解： =  sin。于是， = ₁ cos + ₂ sin就是微分方程的通解。

求微分方程${\displaystyle y^{″}-<!--\; -\; -->4y^{\prime }+5y=0}$和2−。于是，${\displaystyle y=C_1{e}^{2x}\cos <!--\; \; -->x+C_2{e}^{2x}\sin <!--\; \; -->x}$：

因此，原微分方程的解是：

假设有以下的微分方程：

我们首先求出对应的齐次方程的通解${\displaystyle y=C_1{y}_1+C_2{y}_2}$₁、₂是常数，₁、₂是的函数。然后我们用常数变易法求出非齐次方程的一个特解，方法是把齐次方程的通解中的常数₁、₂换成的未知函数₁、₂，也就是：

两边求导数，可得：

我们把函数₁、₂加上一条限制：

于是：

两边再求导数，可得：

把(1)、(3)、(4)代入原微分方程中，可得：

整理，得：

由于₁和₂都是齐次方程的通解，因此${\displaystyle u_1{y}_1^{″}+p{u}_1{y}_1^{\prime }+q{u}_1{y}_1}$阶的变系数微分方程具有以下形式：

一个例子是柯西-欧拉方程：

变系数线性微分方程通常没有一般的方法可以求解，但一阶的变系数线性微分方程是例外。设有以下的一阶变系数线性微分方程：

这个方程可以用积分因子求解，方法是把两边乘以${\displaystyle e^{\int <!--\; \int \; -->f(x)dx}}$() = b，() = 1，因此微分方程的解为：

应用拉普拉斯变换解线性微分方程显得更为方便简单。

首先有以下关系：

有如下微分方程：

该方程可变换为：

则：

${\displaystyle \mathcal{L}\{f(t)\}=\frac{\mathcal{L}\{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(t)\}+\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_i\underset{j=1}{\overset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{s}^{i-<!--\; -\; -->j}{f}^{(j-<!--\; -\; -->1)}(0)}{\underset{i=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_i{s}^i}.}$() 通过拉普拉斯反变换 ${\displaystyle \mathcal{L}\{f(t)\}}$ 求得。