狄利克雷原理

在数学中的位势论里，狄利克雷原理是关于在 ${\displaystyle {\mathbb{R}}^n}$() 的刻画。原理说明，() 是使得狄利克雷势能

最小的几乎处处二次可导，并且在边界 ${\displaystyle \mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}$ 是使得

最小的并且几乎处处二次可导，并且在边界${\displaystyle \mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}$上满足${\displaystyle v=0}$的函数${\displaystyle v}$，那么对于任意一个满足边界条件的函数 ${\displaystyle w}$，任意正实数${\displaystyle \mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}$都有：

即

上式左侧是一个关于${\displaystyle \mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}$的二次多项式，并且在 ${\displaystyle \mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}=0}$ 的时候取到最小值，所以有：

另一方面，由于函数 ${\displaystyle w}$ 满足边界条件，即在 ${\displaystyle \mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}$ 上满足 ${\displaystyle w=0}$，因此有：

这个结果对所有满足边界条件的函数 ${\displaystyle w}$ 都成立，因此根据变分法基本引理，可以得到${\displaystyle \mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}u+f=0}$