对偶范数

对偶范数是数学中泛函分析里的概念。考虑一个赋范向量空间的对偶空间时，常常需要给对偶空间赋以合适的几何架构。对偶范数是一种自然的赋范方式。

给定一个系数域为${\displaystyle \mathbb{F}}$（其中${\displaystyle \mathbb{F}}$到${\displaystyle \mathbb{F}}$的（连续）对偶空间，记作：.

可以证明，是一个向量空间。其上可以装备不同的范数。对偶范数（${\displaystyle \Vert <!--\; \Vert \; -->\cdot <!--\; \cdot \; -->{\Vert <!--\; \Vert \; -->}^{\prime }}$中的元素的是连续线性泛函，所以按照以上定义的范数必然存在，是一个有限正实数。引进了对偶范数后，成为一个赋范线性空间。可以证明，在对偶范数下必然是完备的，所以是巴拿赫空间。

给定一个由中元素构成的柯西序列：${\displaystyle (f_n{)}_{n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}}}$-线性泛函。由柯西序列的定义可知，

所以对中任何元素，都有：

这说明${\displaystyle {\left(f_n(x)\right)}_{n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}}}$ 是连续线性泛函，属于。事实上：

最后证明 是序列${\displaystyle (f_n{)}_{n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}}}$。所以是完备空间。

给定两个大于1的实数和。如果两者满足：${\displaystyle \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1}$，那么序列空间${\displaystyle {\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}^p}$和${\displaystyle {\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}^q}$互相是对偶空间（在同构的意义上）。${\displaystyle {\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}^p}$装备的是序列p-范数之时，它的对偶空间装备的对偶范数可以和装备了序列q-范数的${\displaystyle {\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}^q}$建立等距同构。当${\displaystyle p=q=2}$时，以上性质说明，${\displaystyle {\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}^2}$和自身对偶。