对偶范数是数学中泛函分析里的概念。考虑一个赋范向量空间的对偶空间时,常常需要给对偶空间赋以合适的几何架构。对偶范数是一种自然的赋范方式。
给定一个系数域为 F {\displaystyle \mathbb {F} } (其中 F {\displaystyle \mathbb {F} } 到 F {\displaystyle \mathbb {F} } 的(连续)对偶空间,记作: .
可以证明, 是一个向量空间。其上可以装备不同的范数。对偶范数( ‖ ⋅ ‖ ′ {\displaystyle \|\cdot \|'} 中的元素的是连续线性泛函,所以按照以上定义的范数必然存在,是一个有限正实数。引进了对偶范数后, 成为一个赋范线性空间。可以证明, 在对偶范数下必然是完备的,所以 是巴拿赫空间。
给定一个由 中元素构成的柯西序列: ( f n ) n ∈ N {\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }} -线性泛函。由柯西序列的定义可知,
所以对 中任何元素 ,都有:
这说明 ( f n ( x ) ) n ∈ N {\displaystyle \left(f_{n}(x)\right)_{n\in \mathbb {N} }} 是连续线性泛函,属于 。事实上:
最后证明 是序列 ( f n ) n ∈ N {\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }} 。所以 是完备空间。
给定两个大于1的实数 和 。如果两者满足: 1 p + 1 q = 1 {\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1} ,那么序列空间 ℓ p {\displaystyle \ell ^{p}} 和 ℓ q {\displaystyle \ell ^{q}} 互相是对偶空间(在同构的意义上)。 ℓ p {\displaystyle \ell ^{p}} 装备的是序列p-范数之时,它的对偶空间装备的对偶范数可以和装备了序列q-范数的 ℓ q {\displaystyle \ell ^{q}} 建立等距同构。当 p = q = 2 {\displaystyle p=q=2} 时,以上性质说明, ℓ 2 {\displaystyle \ell ^{2}} 和自身对偶。