对偶范数

✍ dations ◷ 2025-07-04 11:52:16 #泛函分析,对偶理论

对偶范数是数学中泛函分析里的概念。考虑一个赋范向量空间的对偶空间时,常常需要给对偶空间赋以合适的几何架构。对偶范数是一种自然的赋范方式。

给定一个系数域为 F {\displaystyle \mathbb {F} } (其中 F {\displaystyle \mathbb {F} } F {\displaystyle \mathbb {F} } 的(连续)对偶空间,记作:.

可以证明,是一个向量空间。其上可以装备不同的范数。对偶范数( {\displaystyle \|\cdot \|'} 中的元素的是连续线性泛函,所以按照以上定义的范数必然存在,是一个有限正实数。引进了对偶范数后,成为一个赋范线性空间。可以证明,在对偶范数下必然是完备的,所以是巴拿赫空间。

给定一个由中元素构成的柯西序列: ( f n ) n N {\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }} -线性泛函。由柯西序列的定义可知,

所以对中任何元素,都有:

这说明 ( f n ( x ) ) n N {\displaystyle \left(f_{n}(x)\right)_{n\in \mathbb {N} }} 是连续线性泛函,属于。事实上:

最后证明 是序列 ( f n ) n N {\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }} 。所以是完备空间。

给定两个大于1的实数。如果两者满足: 1 p + 1 q = 1 {\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1} ,那么序列空间 p {\displaystyle \ell ^{p}} q {\displaystyle \ell ^{q}} 互相是对偶空间(在同构的意义上)。 p {\displaystyle \ell ^{p}} 装备的是序列p-范数之时,它的对偶空间装备的对偶范数可以和装备了序列q-范数的 q {\displaystyle \ell ^{q}} 建立等距同构。当 p = q = 2 {\displaystyle p=q=2} 时,以上性质说明, 2 {\displaystyle \ell ^{2}} 和自身对偶。

相关

  • 砂眼砂眼可以指:
  • 切削液切削液,是一种特别为机械加工而设的冷却剂和润滑剂。其中包括油、油水乳化液、膏剂、凝胶、气雾、空气或其他气体。他们可能会从石油馏出物、动物脂肪、植物油、水和空气、或
  • 风寒指数风寒指数是一种暴露于皮肤的表观气温,是由气温与风速所对应的函数。风寒指数是根据风寒效应所定立的指数。而风寒效应的出现是由于风也会影响我们对冷的感觉,引致温度计的读数
  • 礁,也称岩礁、礁岩或礁石,指很小的岩石岛屿,通常小到无法居住。它可以是一个简单的岩石暗礁。礁也可以用来指矮的海蚀柱。礁上可能会有植物生长,比如苔藓和小而耐寒的草。在世界
  • 再见再见,又称再会,再次聚会或相见。是用于道别场合的礼貌口语。也可能指:
  • 湖南 (消歧义)湖南可能是指:
  • 陈霖陈霖(1945年11月6日-),祖籍福建福州,出生于四川成都,认知科学和实验心理学家,中国科学院院士。拓扑性质初期知觉理论的提出者。陈霖于1970年毕业于中国科学技术大学,此后留校任教。1
  • 生物萤光生物萤光( Biofluorescence)是一种生物体发出萤光的机制。与生物发光不同的是:生物萤光是透过其体内的萤光蛋白,利用与萤光近似的机制,透过来吸收特定波段的光波,然后再发放另一个
  • 张本天杰张本天杰(日语:張本天傑,1992年1月8日-)是日本男子篮球选手。他出生于中华人民共和国辽宁省沈阳市,本名张天杰。其后归化日本籍,定居于爱知县。 张本天杰在球队中的位置是中锋。他
  • 原民喜原民喜(日语:原 民喜/はら たみき ,1905年11月15日-1951年3月13日),日本小说家与诗人,出生于日本广岛县广岛市。