张量 (内蕴定义)

在数学中，处理张量理论的现代无分量（component-free（英语：component-free））方法首先将张量视为抽象对象，表示多重线性概念的某些特定类型。他们一些熟知的性质可由作为线性映射或更广泛地定义得出；而张量的操作导致了线性代数扩张为多重线性代数。

在微分几何中，一个内蕴的几何论断也许可以用一个流形上的张量场表示，这样完全不必使用参考坐标系。在广义相对论中同样如此，张量场描述了物理性质。无分量方法在抽象代数与同调代数中也很常用，在那里张量自然地出现了。

给定域${\displaystyle F}$* 是 的对偶空间。

如果在我们的积中有${\displaystyle m}$ 到 的可逆线性变换的空间，但对于张量空间没有类似的记法。

微分几何、物理学和工程学必须经常要处理光滑流形上的张量场。术语“张量'”实际上有时用作张量场的简称。一个张量场表达了逐点变化的张量的概念。

对任何给定向量空间${\displaystyle V}$ 我们有${\displaystyle V}$的一组基底${\displaystyle \{{\mathbf{e}}_i\}}$，以及对应的对偶空间 ${\displaystyle V^{\ast <!--\; \ast \; -->}}$以及和向量基底${\displaystyle \{{\mathbf{e}}_i\}}$ 对应的对偶基底${\displaystyle \{{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^j\}}$ （也可用${\displaystyle \{{\mathbf{e}}^{\ast <!--\; \ast \; -->j}\}}$来表示）。上指标与下指标的区别提醒我们分量变换的方式以及向量跟余向量(covector)或是向量跟余向量的系数的分别。

例如，取空间

中的张量 ${\displaystyle \mathbf{T}}$，在我们的坐标系下分量可写成

这里我们使用爱因斯坦求和约定，这是处理张量分量的一种常见约定：即当张量分量同时出现了一组上指标与下指标时，我们对这上下指标所有可能值求和，比如说：${\displaystyle a_{i}d{x}^i}$这符号，在这约定下即代表${\displaystyle \underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}{a}_{i}d{x}^i}$。也就是说在在爱因斯坦求和约定下我们有${\displaystyle T^{ij}{}_k{\mathbf{e}}_i\otimes <!--\; \otimes \; -->{\mathbf{e}}_j\otimes <!--\; \otimes \; -->{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^k=\underset{ijk}{\sum <!--\; \sum \; -->}{T}^{ij}{}_k{\mathbf{e}}_i\otimes <!--\; \otimes \; -->{\mathbf{e}}_j\otimes <!--\; \otimes \; -->{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^k}$。在物理中我们经常使用表达式

来表示张量，就像向量经常写成分量形式，这可以视为一个${\displaystyle n\times <!--\; \times \; -->n\times <!--\; \times \; -->n}$数组。假设在另一坐标系中，有另一组基底${\displaystyle \{{\stackrel{\mathbf{^<!--\; ^\; -->}}{\mathbf{e}}}_i\}}$，则对同一向量来说两组基底对应的分量将会不同。如果${\displaystyle (R_i^j)}$ 是两基底间的变换矩阵（注意这不是一个张量，因为它表达一个基的变化而不是一个几何实体），也就是

，设 ${\displaystyle (R^{-<!--\; -\; -->1}{)}_k^l}$ 是${\displaystyle (R_i^j)}$的逆矩阵，对同一张量在新基底的张量分量设为${\displaystyle {\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{T}}^{i^{\prime }{j}^{\prime }}{}_{k^{\prime }}}$，则两者之间的变换公式为：

注意上面的第二个等式使用了爱因斯坦求和约定。在旧教材中这个变换规律经常作为一个张量的定义。形式上，这意味这那个张量作为所有坐标变换组成的群的一个特定表示。