Kansa方法

✍ dations ◷ 2025-04-26 13:59:11 #数值微分方程

20世纪90年代,E. J. Kansa将用于散乱数据处理和函数近似的径向基函数用于处理偏微分方程,并提出一种强格式的配点方法。Kansa所提出的径向基函数配点方法是真正的无网格方法,具有易于编程、数学形式简单、方便掌握等优点。该方法提出后不久,被学术界称之为Kansa方法(Kansa method)。

由于径向基函数是采用无需考虑维数的一维欧几里德距离作为变量,Kansa方法适用于高维的和形状复杂的问题。Kansa方法是一种区域型方法,不仅在边界离散使其满足边界条件,同时内部配点需要满足控制方程。

此外,还有一类以径向基函数为核函数的边界型径向基函数配点方法(Boundary-type RBF collocation method),如基本解法(英语:Method of fundamental solution)、边界节点法、奇异边界法、边界粒子法、和正则化无网格法(Regularized meshless method)等。这类方法选取的基函数(也被称为核函数),通常选取控制方程的基本解或通解,因而满足控制方程。因此只需要在边界离散满足边界条件即可。

Kansa方法选取的径向基函数不需要满足控制方程,因此选取基函数有更大的自由空间。多元二次曲面(Multiquadric, MQ)函数是Kansa方法最常用的径向基函数,如果选择了恰当的形参数可以获得谱收敛的精度。

Kansa方法,也称为改进MQ方法或MQ配点法,源于著名的MQ插值。该方法的有效性和高效性已经得到了许多问题的验证。此外,由于部分问题的基本解和通解不存在,如变系数问题和非线性问题,Kansa方法比边界型径向基函数配点方法拥有更加广阔的应用范畴。

在d维物理区域 内考虑以下边值问题,

其中代表微分算子,为问题的维数, Ω D {\displaystyle \partial \Omega _{D}} , Ω N {\displaystyle \partial \Omega _{N}} 分别代表狄利克雷边界和诺伊曼边界且 Ω D Ω N = Ω {\displaystyle \partial \Omega _{D}\cup \partial \Omega _{N}=\partial \Omega } 。Kansa方法通过径向基函数的线性组合来逼近待求的函数,即:

其中 α i {\displaystyle {{\alpha }_{i}}} 为待求参数, ϕ ( r i ) {\displaystyle \phi \left(r_{i}\right)} 代表径向基函数,如MQ函数。为确保所求函数的唯一性,在上式右端添加一组多项式:

其中 γ k ( X ) {\displaystyle {{\gamma }_{k}}(X)} 为多项式。径向基插值形式(4)和(5)都经常应用在计算中。(4)式的形式简单易于掌握且在大多数情况下都能获取较好的计算结果,因此在工程领域使用广泛;(5)式的形式严谨且理论基础坚实,所以数学工作者偏于采用后者。 将(4)式或(5)式代入方程组(1)-(3)可得以下线性方程组:

其中,

通过求解以上线性方程组,可求解待定参数 α i {\displaystyle {{\alpha }_{i}}} ,根据(4)式或(5)式即可得到待求函数。

偏微分方程的数值求解通常采用有限差分法,有限单元法或边界单元法。有限差分法通常需要规则的网格系统,难以处理不规则区域问题。比之有限差分法,有限单元法能适于处理更复杂的形状,但网格的划分及其再划分在计算时依旧不可避免。边界单元法在处理一些工程问题效果显著,比如反问题、无限域问题和薄壁结构问题。然而,边界单元法受限于控制方程的基本解难以确定,使其应用范畴受到约束。

近来几十年,由于标准有限单元法和边界单元法在处理高维、移动边界和复杂边界等问题需要耗费庞大的计算成本,无网格或无单元方法受到极多关注。Kansa方法是一种真正的无网格方法,不需要划分网格和单元而是通过径向基函数(如MQ函数)在配置的节点处满足相关条件即可。

虽然经过诸多学者的研究,但依旧缺乏对Kansa方法严谨的数学证明。另外,混合边界会破坏插值矩阵的对称性。文献提及的对称埃尔米特径向基函数插值方案(Hermite RBF collocation scheme)其可解性具有可靠的数值分析。其中,Kansa方法和对称埃尔米特方法都存在一个共同的问题,即相邻边界节点的数值解精度比内部节点低1-2个数量级。边界偏微分方程配点(The PDE collocation on the boundary, PDECB))方案可以消除这一缺陷。然而,这一方案缺乏数学上的理论支持且需要在边界附近的区域内或区域外设置一系列节点,因此在处理复杂区域或多连通问题时非常复杂。随后提出的一种相似处理方式,在相同的边界节点同时满足控制方程和边界条件,而其缺陷在于产生的插值矩阵是不对称的且方法本身同样缺乏明确的理论基础。通过使用第二格林公式,改进的Kansa方法可以弥补以上缺陷。

对于MQ函数,其插值误差取决于自身的形状参数,如何选取恰当的形状参数和关于MQ径向基函数的一些数学理论可以参见以下文献 。

Kansa方法广泛应用于计算科学。中Kansa方法用于求解椭圆型、双曲型和抛物型三类偏微分方程。Kansa近来也应用于求解各类常微分和偏微分方程,包括两相和三相混合模型的组织工程问题,冲击波下的一维非线性Burger方程,潮汐和海流模拟中的浅水方程 ,热传导方程,自由边界问题,分数阶扩散方程。

相关

  • 数学哲学数学哲学是哲学的一个分支,研究数学中的哲学问题的学科。从毕达哥拉斯到康德的众多思想家都有许多数学哲学的重要思想,但作为专门学科直到十九世纪中叶以后才逐渐建立起来。着
  • 顾客顾客或客户可以指用金钱或某种有价值的物品来换取接受财产、服务、产品或某种创意的自然人或公司 。是商业服务或产品的采购者,他们可能是最终的消费者、代理人或供应链内的
  • 印度国会印度国会(印地语:भारत संसद;英语:Parliament of India)是印度的最高立法机关。印度国会包含印度总统及两院,分别为人民院和联邦院。总统有召集国会和休会的权力,并且可以解
  • 肝肾综合征肝肾综合征(英语:Hepatorenal syndrome,缩写HRS)是发生于肝硬化或急性肝衰竭患者的致命症状,患者的肾功能会快速恶化。虽然一些治疗方法(如透析)能延缓肝肾综合征的病程,但肝肾综合
  • 世界博览会世界博览会(英语:Universal Exposition或World's Fair),又称国际博览会及万国博览会,简称世博会、世博、万博,是一个具国际规模的集会。参展者向世界各国展示当代的文化、科技和产
  • 摩尔达维亚大公国摩尔达维亚公国,罗马尼亚历史上的一个公国,形成于14世纪,1859年与瓦拉几亚公国合并,成为现代罗马尼亚的前身。
  • 反坦克导弹反坦克导弹或反坦克制导武器是一种被专门用来袭击并摧毁坦克或者其它装甲战斗车辆的制导导弹。坦克于第一次世界大战出现在战场之后,各种反坦克武器相继出笼,在二次世界大战爆
  • 人类外貌个人外貌可能是一个人的外表和容貌,社会学普遍认为一个人的外貌在人格发展及社会关系中扮演着举足轻重的角色。人类容貌的改变有一定的理论可做依循,主要取决于人类的遗传基因
  • 露西·伯恩露西·伯恩(Lucy Burns,1879年7月28日-1966年12月22日),美国女性参政和女权提倡者。她和她的好友爱莉丝·保罗共同建立了全国妇女党,推动美国联邦政府立法通过女性参政的权力。
  • 布尔加斯布尔加斯(保加利亚语:Бургас)位于黑海西岸、保加利亚东南部,是该国第四大城市。人口 259,985 (2005年)。是保加利亚黑海南岸的中心都市,在工业和交通上都有重要的地位。其历