联络 (向量丛)

✍ dations ◷ 2025-07-19 07:24:58 #联络,向量丛

在数学中,纤维丛上一个联络是一个定义丛上平行移动的装置;即将邻近点连接或等价的一种方法。如果纤维丛是向量丛,则平行移动的概念要求线性。这样的联络等价于一个共变导数,共变导数是一个能对截面关于底流形的切方向求微分的算子。联络在这个意义下,对任意向量丛,推广了光滑流形切丛的线性联络概念,经常叫做线性联络。

向量丛上的联络也经常称为科斯居尔联络,以让-路易·科斯居尔命名,他给出了描述这个联络的一个代数框架(Koszul 1950)。

设 → 是光滑流形 上的光滑向量丛。记 的光滑截面的空间为 Γ()。 上一个联络是一个 R-线性映射

使得莱布尼兹法则

对 上所有光滑函数 与 的所有光滑截面 σ 成立。

如果 是 上一个切向量场(即切丛 的一个截面),我们可以定义一个沿着 的共变导数:

通过缩并 与联络 ∇ 中的共变指标(即 ∇σ = (∇σ)())。共变导数满足如下性质:

反之,任何满足如上性质的算子定义了 上一个联络,联络在这种意义下也称为 上的共变导数。

设 → 是一个向量丛。一个 阶 -值微分形式是张量积丛 ⊗Λ* 的一个截面。这种形式的空间记作

一个 -值 0-形式就是 的一个截面,即

在这种记法下, → 上一个联络是线性映射

这样一个联络看作向量丛值形式的外导数的推广。事实上,给定 上一个联络 ∇ 有惟一的一种方法将 ∇ 延拓成共变外导数或称外共变导数

不像通常的外导数,这里不必有 (∇)2 = 0 。事实上,(∇)2 与联络 ∇ 的曲率直接相关,参见下面。

任何向量丛上都有联络,但是联络不是惟一的。如果 ∇1 与 ∇2 是 → 上两个联络则他们的差是一个 ∞-线性算子。即

对 上所有光滑函数 与 的所有截面 σ 成立。从而推出差 ∇1 − ∇2 由 上一个取值于自同态丛 End() = ⊗* 的 1-形式诱导

反之,如果 ∇ 是 上一个联络而 是 上取值为 End() 的 1-形式,则 ∇+ 是 上一个联络。

换句话说, 上联络的空间是一个对 Ω1(End ) 的仿射空间。

设 → 是一个秩 向量丛,令 F() 是 的主标架丛。则 F() 上一个(主)联络诱导了 上一个联络。首先注意到 的截面与左等变映射 F() → R 一一对应(这由考虑 在F() → 上的拉回可以看出来,同构于平凡丛 F() × R)。给定 的一个截面 σ,设对应的等变映射为 ψ(σ)。则 上的共变导数由

给出,这里 是 的水平提升(回忆到水平提升由 F() 上一个联络确定)。

反之, 上一个联络确定了 F() 上一个联络,且这两个构造是互逆的。

上一个联络也等价地由 上一个线性埃雷斯曼联络确定。这提供了构造相关的主联络的一个方法。

设 → 是一个秩 向量丛,令 是 的一个开子集使得 在 上平凡。给定 在 上一个局部光滑标架 (1, …,), 的任何截面 σ 可写成 σ = σ α e α {\displaystyle \sigma =\sigma ^{\alpha }e_{\alpha }} 上一个联络限制在 上具有形式:

这里

这里 ωαβ 定义了一个 × 矩阵,矩阵元取值为 上的 1-形式。事实上,给定任何如上形式的矩阵定义了 限制在 上一个联络。这是因为 ωαβ 确定了一个 1-形式 ω 取值于 End(),这个表达式定义 ∇ 为联络 d+ω,这里 d 是 在 上的平凡联络(定义为用局部标架对截面微分)。在这种情景下 ω 也称为 ∇ 关于这个局部标架的联络形式。

如果 是一个具有坐标 () 的坐标邻域,则我们可以写成

注意坐标与纤维指标在表达式中混合在一起。系数函数 ωαβ 对指标 具有张量性(它们定义了一个 1-形式)但对指标 α 与 β 不是。对纤维指标的变换法则更加复杂。设 (1, …,) 是 上另一个光滑局部标架,将坐标变换矩阵记作 (即 α = ββα)。关于标架(α) 的联络矩阵由矩阵表达式给出

这里 d 是对 的分量取外导数得到的 1-形式矩阵。

此局部坐标中关于这个局部标架场 (α) 的共变导数由如下表达式给出:

向量丛 → 上一个联络 ∇ 定义了 上沿着 的一条曲线的平行移动概念。设 γ : → 是 上一条光滑道路。 的沿着 γ 的一个截面 σ 称为平行,如果

对所有 ∈ 成立。更形式地,我们可考虑 通过 γ 的拉回 γ*。这是 上在 ∈ 处纤维为 γ() 的纤维丛。 上的联络 ∇ 拉回到 γ* 上一个联络。γ* 的一个截面 σ 平行当且仅当 γ*∇(σ) = 0.

假设 γ 在 中从 到 。如上定义平行截面的等式是一个一阶常微分方程从而对任何可能的初始条件有惟一解。即对任何向量 属于 存在 γ* 的惟一平行截面 σ 满足 σ(0) = 。定义平行移动映射

为 τγ() = σ(1)。可以证明 τγ 是一个线性同构。

平行移动可以用来定义联络 ∇ 以 中一点 为基点的和乐群。这是 GL() 的一个子群,由沿着基于 环路的所有平行移动映射组成:

一个联络的和乐群本质上与这个联络的曲率相关。

→ 上联络 ∇ 的曲率是一个 上 2-形式 ∇,取值于自同态丛 End() = ⊗*,即

曲率定义为表达式

这里 与 是 上的切向量场, 是 的一个截面。可以验证 ∇ 对 与 都是 ∞-线性的,从而确实定义了一个 的丛同态。

正如上面所提及的,共变外导数 ∇ 作用在 值形式上的平方不必是零。无论如何算子 (∇)2 严格有张量性(即 ∞-线性)。这意味着它由一个取值于 End() 的 2-形式诱导,这个 2-形式恰好就是如上给出的曲率形式。对一个 -值形式 σ 我们有

一个平坦联络是曲率形式恒等于零的联络。

相关

  • 沙门氏菌S. bongori 肠道沙门氏菌S. enterica沙门氏菌(学名:Salmonella)是具有共同特征的一大属革兰氏阴性肠道杆菌,为美国病理学家沙门(Daniel Elmer Salmon)最早发现。沙门氏菌目前已经
  • 海军军官学校中华民国海军军官学校(R.O.C. Naval Academy),简称海军官校,是一所专门培育中华民国海军军官的军校,位于中华民国高雄市左营区海军左营基地,以“培育第一等人才,建设第一等海军”为
  • 防卫防卫战就军事而言,即指以防守武力阻挡抵抗他方入侵的战争,如:抗战。近现代军事防卫战的发起,并不一定是被动,除了防卫固守外,也包含吓阻用途的预防战争武力建置。防卫战有战略战术
  • 干酪根油母质(英语:Kerogen)又音译做干酪根或依外观称为油田沥青,是存在于沉积岩(尤其是页岩)之中由有机物经过复杂的化石化作用所形成的混合有机物物质。它不溶于普通的有机溶剂是因为
  • 沃尔小乔纳森·希尔德雷德·沃尔(英语:Johnathan Hildred Wall Jr.;1990年9月6日-)通称约翰·沃尔,外号“墙壁”,为现役美国职业篮球运动员,目前效力于NBA联盟的华盛顿奇才,场上位置为控
  • 分位图分位图(Q–Q plot)又称QQ图,Q代表分位数(Quantile)。是在统计学中,通过比较两个概率分布的分位数对这两个概率分布进行比较的概率图方法。首先选定分位数的对应概率区间集合,在此概
  • 颜思齐颜思齐(1586年-1625年9月),字振泉,一字枢泉,漳州海澄人,精通武术,为人豪爽,广受敬重。17世纪东亚知名的武装海商,曾为方便经商于马尼拉受洗为天主教徒,教名为Pedro,故当时以Pedro Chino
  • 香叶烯月桂烯,或称为β-月桂烯,是一种天然的烯类有机化合物。它被归类到烃类的萜烯中。常温下呈无色或淡黄色油状液体。可以溶于乙醇、乙醚、氯仿等有机溶剂当中,并能与大多数其它香
  • 东京银行东京银行(日语:とうきょうぎんこう,The Bank of Tokyo, Ltd.)是日本过去存在的都市银行之一。简称东银(とうぎん)。1996年,东京银行和三菱银行合并为东京三菱银行(现三菱UFJ银行的前
  • 北加里曼丹共产党已消亡 已放弃共产主义意识形态 已消亡 已放弃共产主义意识形态 已消亡 已放弃共产主义意识形态 已消亡 已消亡 已放弃共产主义意识形态 北加里曼丹共产党(英语:North K