克莱布希－高登系数

在量子力学中，克莱布希－高登系数（Clebsch–Gordan coefficients，简称 CG 系数，又称向量耦合系数等）是两个角动量耦合时，它们的本征函数的组合系数。

从数学的角度，克莱布希－高登系数出现在紧李群的表示论中，它研究的是两个不可约表示的张量积如何分解成不可约表示的直和。

克莱布希－高登系数因阿尔弗雷德·克莱布什和保罗·哥尔丹而得名。

在本文中，在不引起混淆的情况下，省略算符上的尖号。用粗体来表示向量（算符），用非粗体表示标量（算符）。

本文的讨论从角动量的一般量子理论出发，以角动量算符的对易关系为基础，不涉及角动量算符在某个具体表象下的表示。相关内容可参见角动量算符对易关系一文。给定了 j 之后，本征函数组

张开成一个 2j+1 维的函数空间。

现在给定两个量子数 j₁ 和 j₂，则其本征函数组张开的空间分别有 2j₁+1 维与 2j₂+1 维。现考虑这两个函数空间的张量积

显然有

下面为简便起见，定义新的记号

一般地，若 f, g 分别是这两个空间里的算符，则在积空间上可以定义下列算符：

另一方面，定义在这两个空间上的算符可以自然地嵌入到积空间中，只需取

其中 1 表示恒等操作（算符）。

在这样的定义下，两个角动量算符的的耦合表达为：

容易验证这样定义的 j 满足角动量的基本对易关系，因此是一个角动量算符，称为总角动量算符。

根据角动量的一般理论，总角动量算符也有自己的本征函数组，它可以用积空间里的基来表示

这里的线性组合系数

就被称为克莱布希－高登系数。在正交归一性的要求下，克莱布希－高登系数仍然具有相位不确定性。本文中取 Condon-Shortle 惯例，使所有克莱布希－高登系数为实数。

上式两边取矩阵元，就得到：

故在克莱布希－高登系数的表达式中可以省略 m 的值。

下面考虑耦合表象中量子数 j 的取值，根据上式，有

故 j 最大的可能取值是 j₁ 与 j₂ 的和，且它只出现一次。此时

考虑下一个可能的 j，显然第二大的 m=m_max-1，它可以通过两种方式组合而来，

它们张开成一个二维的空间，但 j=j_max 的本征函数组里面已经出现过 m=j_max-1，这里占用了一维，因此下一个可能的 j 只能是 j_max-1，它同样只出现一次。

这样分析下去，就会知道 j 的所有可能取值只能是

其中每个 j 恰好出现一次，且

但积空间的维数应该等于两个空间维数之积，即

故有

以 ${\displaystyle j_1=j_2=\frac{1}{2}}$ 为例。

对任意一个算符 ${\displaystyle f}$，本节中的矩阵元表示

的值。

计算最后一个矩阵的本征值和本征向量，得到

于是可知克莱布希－高登系数为：

从上面的例子可以看到，对于一般的情况，用矩阵来求克莱布希－高登系数将是十分繁琐的。一般可以采用下面的 Racah 表达式计算，更多的情况是直接查表。

Racah 用代数方法得出了克莱布希－高登系数的有限级数表达式。

其中， ν 的求和限制在使得所有的阶乘因子中的数非负的范围内。

克莱布希－高登系数有下列的对称性

克莱布希－高登系数与维格纳 3-j 符号有下列关系：

后者可以用于计算下列形式的球谐函数积分：

由球谐函数的正交归一性，上面的结果也可以用来对球谐函数作展开。