洛伦茨吸引子 !1=zh-hant:準周期;zh=hans:准周期

✍ dations ◷ 2025-07-11 17:12:47 #混沌映射

洛伦茨吸引子(Lorenz attractor)是洛伦茨振子(Lorenz oscillator)的长期行为对应的分形结构,以爱德华·诺顿·洛伦茨(Edward Norton Lorenz)的姓氏命名。洛伦茨振子是能产生混沌流的三维动力系统,又称作洛伦茨系统(Lorenz system),其一组混沌解称作洛伦茨吸引子,以其双纽线形状而著称。映射展示出动力系统(三维系统的三个变量)的状态是如何以一种复杂且不重复的模式,随时间的推移而演变的。

洛伦茨吸引子及其导出的方程组是由爱德华·诺顿·洛伦茨于1963年发表,最初是发表在《大气科学杂志》()杂志的论文《》中提出的,是由大气方程中出现的对流卷方程简化得到的。

这一洛伦茨模型不只对非线性数学有重要性,对于气候和天气预报来说也有着重要的含义。行星和恒星大气可能会表现出多种不同的准周期状态,这些准周期状态虽然是完全确定的,但却容易发生突变,看起来似乎是随机变化的,而模型对此现象有明确的表述。

从技术角度看来,洛伦茨振子具有非线性、三维性和确定性。2001年,沃里克·塔克尔(Warwick Tucker)证明出在一组确定的参数下,系统会表现出混沌行为,显示出人们今天所知的奇异吸引子。这样的奇异吸引子是豪斯多夫维数在2与3之间的分形。彼得·格拉斯伯格(Peter Grassberger)已于1983年估算出豪斯多夫维数为2.06 ± 0.01,而关联维数(英语:correlation dimension)为2.05 ± 0.01。

此系统也会出现在单模激光和发电机的简化模型中。除此之外,闭环对流、水轮转动等物理模型也有此系统的应用。

洛伦茨方程是基于纳维-斯托克斯方程、热传导方程和连续性方程简化得出,最初的形式为:

v {\displaystyle {\vec {v}}} (3,2)环面纽结。

下面是GNU Octave模拟洛伦茨吸引子的源代码:

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