齐性空间

在数学，特别是李群、代数群与拓扑群的理论中，关于群的一个齐性空间（homogeneous space）是一个非空流形或拓扑空间，可传递地作用在上，G中的元素称之为X的对称。一个特例是空间的自同构群，这里自同构群可以是等距同构群、微分同胚群或是同胚群。在这些例子中，如果直觉想成于任何地方局部看起来一样，则是齐性的。像是等距同构（刚体几何）、微分同胚（微分几何）或是同胚（拓扑）。一些作者要求的作用是有效的（或忠实），不过本文并不要求这样。从而上存在可以想象为保持上相同“几何结构”的一个群作用，使成为一个单-轨道。

设是一个非空集合，是一个群。如果存在在上一个作用，则称为一个-空间。注意通过自同构自动作用在这个集合上。如果还额外属于某一个范畴，则要求中元素的作用是这个范畴中的自同构。从而由在上产生的映射保持结构。一个齐性空间是一个作用传递的空间。

简明地说，如果是范畴C中一个对象，则一个-空间结构是到范畴C中对象的自同构群一个同态：

若ρ()是承载集合的一个传递的、对称群，则二元组 (,ρ)定义了一个齐性空间。

例如，若是一个拓扑空间，则要求群元素在上的作用是自同胚。-空间的结构是到自同胚群的一个群同态ρ : → Homeo()。

类似地，如果是一个微分流形，则群元素是微分同胚。-空间结构是到微分同胚群的一个群同态ρ : → Diffeo()。

从埃尔朗根纲领的观点，可以理解在的几何中“所有点是一样的”。十九世纪中叶黎曼几何提出之前的所有几何本质上都是如此。

例如欧几里得空间、仿射空间和射影空间都自然是相应对称群的齐性空间。这对常曲率非欧几里得几何模型，比如双曲空间，同样成立。

一个深一点的经典例子是三维射影空间里线组成的空间（等价于，四维向量空间中的二维子空间）。用简单的线性代数可以证明GL₄传递作用在这个空间上。我们可用“线坐标”将其参数化：存在2×4矩阵的2×2 子式使得其列向量是子空间的两个基向量。所得空间的几何是尤里乌斯·普吕克（英语：Julius Plücker）的线几何。

一般地，如果是一个齐性空间，而_o是中某一给定点的稳定子（选取一个原点），中的点对应于左陪集/_o。

选取不同的原点一般将得到商去一个不同子群_o′，它与_o相差一个的内自同构。准确地，

这里是中任何元素使得 = ′。注意内自同构 (1)与的选取无关，只取决与模去_o。

如果在上的作用连续，则是的一个闭子群。特别地，如果是一个李群，则由嘉当定理是一个闭李子群。从而/是一个光滑流形，并且带有与这个群作用相容惟一的光滑结构。

如果是恒同子群{}，则是一个主齐性空间。

对线几何之例子，我们可将等同于16-维一般线性群

的一个12-维子群，由如下矩阵元素的条件定义

通过寻找前两个标准基向量生成的子空间的稳定子。这便证明了的维数是4。

因为由子式给出的齐次坐标有6个，这意味着后者不是互相独立的。事实上这六个子式间有一个二次关系，已为十九世纪的几何学家知道。

这个例子是比射影空间更早发现的第一个格拉斯曼流形。在数学的通常使用中有许多更深入的典型线性群的齐性空间。

准齐性向量空间概念由佐藤干夫提出。

它是带有一个代数群作用的有限维向量空间，使得存在的一个轨道在扎里斯基拓扑下是开集（从而稠密）。一个例子是GL₁作用在一维空间空间上。

这个定义比它最初出现时更加严格：这样的空间具有不寻常的性质，不可约准齐性向量空间在相差一个称之为“castling”的转换下存在一个分类。

凡用到广义相对论的宇宙学都会使用比安基分类系统。相对论中的齐性空间代表某种宇宙模型的背景度量的空间部分；例如弗里德曼-勒梅特-罗伯逊-沃尔克度量的三个案例可以用比安基I（平坦），V（开），VII（平坦或开）与IX（闭）型子集来代表，而Mixmaster universe（英语：Mixmaster universe）代表一个比安基IX型宇宙的各向异性例子。

一个维齐性空间允许一个由(-1)/2 基灵向量场组成的集合。三维时，总共给出了六个线性无关的基灵向量场；齐性3-空间可以使用这些向量场的线性组合，来寻找在任何地方都非零的基灵向量场${\displaystyle {\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}_i^{(a)}}$，

这里${\displaystyle C_{bc}^a}$为“结构常数”，是一个常秩-3张量，两个下指标反对称，${\displaystyle ;}$表示共变微分算子。在一个平坦各向同性宇宙情形，可能有${\displaystyle C_{bc}^a=0}$（I型），但在闭FLRW宇宙情形，${\displaystyle C_{bc}^a={\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{bc}^a}$这里${\displaystyle {\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_{bc}^a}$是列维-奇维塔符号。