外代数

外代数（英语：Exterior algebra）也称为格拉斯曼代数（Grassmann algebra），以纪念赫尔曼·格拉斯曼。

数学上，给定向量空间${\displaystyle V}$为其中一个子空间。它记为${\displaystyle \wedge <!--\; \wedge \; -->(V)}$上交错的，也就是：

这表示

注意这三个性质只对${\displaystyle V}$中，称为${\displaystyle k}$-向量生成的${\displaystyle \wedge <!--\; \wedge \; -->(V)}$的-阶外幂，记为${\displaystyle {\wedge <!--\; \wedge \; -->}^k(V)}$阶幂的直和：

该外积有一个重要性质，就是-向量和${\displaystyle I}$给出。这些-向量有几何上的解释：2-向量${\displaystyle u\wedge <!--\; \wedge \; -->v}$, , 和${\displaystyle w}$的基，则集合

是${\displaystyle k}$来描述的矩阵的子式来计算。

数一下基元素，我们可以看到${\displaystyle {\wedge <!--\; \wedge \; -->}^k(V)}$ 取 。特别的有，${\displaystyle {\wedge <!--\; \wedge \; -->}^k(V)=\left\{0\right\}}$上由单位的结合-代数这个事实可以用如下的泛性质形式化的表达：

任给一个有单位的结合 -代数${\displaystyle A}$-线性映射${\displaystyle j:V\to <!--\; \to \; -->A}$成立，则存在由单位的代数同态${\displaystyle f:\wedge <!--\; \wedge \; -->(V)\to <!--\; \to \; -->A}$成立。

要构造最一般的包含的代数，而且其乘法是在上交替的，很自然可以从包含的最一般的代数开始，也就是张量代数${\displaystyle T(V)}$，并定义${\displaystyle \wedge <!--\; \wedge \; -->(V)}$并且满足上述泛性质。

如果不是先定义${\displaystyle \wedge <!--\; \wedge \; -->(V)}$和${\displaystyle X}$的是一个多线性映射

使得只要${\displaystyle v_1,\dots <!--\; \dots \; -->,v_k}$中线性相关的向量，则

最著名的例子是行列式值，从${\displaystyle (K^n{)}^n}$中的${\displaystyle k}$-向量，这也是反对称的。事实上，这个映射是定义在上的“最一般”的反对称算子：给定任何其它反对称算子${\displaystyle f:V^k\to <!--\; \to \; -->X}$到基域的反对称映射组成一个向量空间，因为两个这样的映射的和、或者这样一个映射和一个标量的乘积也是反对称的。若是有限维的，维数${\displaystyle n}$的对偶空间。特别的有，从到的反对称映射的空间是${\displaystyle n}$维的。

在这个等同关系下，若基域是${\displaystyle R}$-形式${\displaystyle \mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}$-模，我们可以定义和上文一样的外代数${\displaystyle \wedge <!--\; \wedge \; -->(M)}$：超空间，超代数，超群