外代数

✍ dations ◷ 2025-04-04 11:14:52 #微分几何,多重线性代数,微分形式

外代数(英语:Exterior algebra)也称为格拉斯曼代数(Grassmann algebra),以纪念赫尔曼·格拉斯曼。

数学上,给定向量空间 V {\displaystyle V} 为其中一个子空间。它记为 ( V ) {\displaystyle \land (V)} 上交错的,也就是:

这表示

注意这三个性质只对 V {\displaystyle V} 中,称为 k {\displaystyle k} -向量生成的 ( V ) {\displaystyle \land (V)} 的-阶外幂,记为 k ( V ) {\displaystyle \land ^{k}(V)} 阶幂的直和:

该外积有一个重要性质,就是-向量和 I {\displaystyle I} 给出。这些-向量有几何上的解释:2-向量 u v {\displaystyle u\land v} , , 和 w {\displaystyle w} 的基,则集合

k {\displaystyle k} 来描述的矩阵的子式来计算。

数一下基元素,我们可以看到 k ( V ) {\displaystyle \land ^{k}(V)} 取 。特别的有, k ( V ) = { 0 } {\displaystyle \land ^{k}(V)=\left\{0\right\}} 上由单位的结合-代数这个事实可以用如下的泛性质形式化的表达:

任给一个有单位的结合 -代数 A {\displaystyle A} -线性映射 j : V A {\displaystyle j:V\rightarrow A} 成立,则存在由单位的代数同态 f : ( V ) A {\displaystyle f:\land (V)\rightarrow A} 成立。

要构造最一般的包含的代数,而且其乘法是在上交替的,很自然可以从包含的最一般的代数开始,也就是张量代数 T ( V ) {\displaystyle T(V)} ,并定义 ( V ) {\displaystyle \land (V)} 并且满足上述泛性质。

如果不是先定义 ( V ) {\displaystyle \land (V)} X {\displaystyle X} 的是一个多线性映射

使得只要 v 1 , , v k {\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{k}} 中线性相关的向量,则

最著名的例子是行列式值,从 ( K n ) n {\displaystyle (K^{n})^{n}} 中的 k {\displaystyle k} -向量,这也是反对称的。事实上,这个映射是定义在上的“最一般”的反对称算子:给定任何其它反对称算子 f : V k X {\displaystyle f:V^{k}\rightarrow X} 到基域的反对称映射组成一个向量空间,因为两个这样的映射的和、或者这样一个映射和一个标量的乘积也是反对称的。若是有限维的,维数 n {\displaystyle n} 的对偶空间。特别的有,从到的反对称映射的空间是 n {\displaystyle n} 维的。

在这个等同关系下,若基域是 R {\displaystyle R} -形式 ω {\displaystyle \omega } -模,我们可以定义和上文一样的外代数 ( M ) {\displaystyle \land (M)} :超空间,超代数,超群

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