有序交换群

有序交换群系指一对 ${\displaystyle (\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->},>)}$，其中 ${\displaystyle \mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}$ 为交换群，${\displaystyle >}$ 为其上的一个二元关系，且满足如下条件：

另一种等价的描述是：给定一个子集 ${\displaystyle {\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_{+}\subset <!--\; \subset \; -->\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}$，使得 ${\displaystyle {\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_{+}}$ 对加法封闭，且 ${\displaystyle \mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}={\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_{+}\cup <!--\; \cup \; -->\{0\}\cup <!--\; \cup \; -->-<!--\; -\; -->{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}_{+}}$。

若对于每个 ${\displaystyle x\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}$ 都存在 ${\displaystyle n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{Z}}$ 使得 ${\displaystyle n\cdot <!--\; \cdot \; -->1>x}$，则称 ${\displaystyle (\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->},>)}$ 满足阿基米德性质。