狄拉克算子

在数学和量子力学中，狄拉克算子（英语：Dirac operator）是一个微分算子，它是二阶微分算子（如拉普拉斯算子）的形式平方根。保罗·狄拉克研究的原始案例是形式分解闵可夫斯基空间的算子，得到一种与狭义相对论兼容的量子理论形式；为了得到由一阶算子产生的拉普拉斯算子，他引入了旋量。

一般的，令D是作用于黎曼流形M上的向量丛V的一阶微分算子。如果

其中∆是V上的拉普拉斯算子，则D被称为狄拉克算子。

在高能物理中，这个条件经常被放松：只有2的二阶部分必须等于拉普拉斯算子。

例1: ∂是作用在直线上的切线丛的狄拉克算子。

例2: 我们现在考虑一个物理学中重要的简单丛：一个限制在平面上带有½自旋的粒子的位形空间，这也是一个基本流形。它被表示为波函数ψ: R2→C2

其中x和y是R2上的坐标。χ表示自旋向上粒子的概率幅，η与之类似。所谓的自旋狄拉克算子可以被写为

其中σ 是泡利矩阵。通过泡利矩阵的反对易关系可以知道上面定义的性质是显然的。这些定义了克利福德代数的概念。

旋量场的狄拉克方程的解常被称为调和旋量。

例3: 描述三维空间中自由费米子的传播的狄拉克算子可以写为

其中用到费曼斜线标记。

例4: 在克利福德分析（英语：Clifford analysis）中也有狄拉克算子。 在n维欧几里得空间中是

其中{: = 1, ..., }是n维欧几里得空间的标准正交基，考虑R嵌入一个克利福德代数。

这是阿蒂亚-辛格-狄拉克算子作用于旋量丛的特殊情形。

例5: 对于一个自旋流形（英语：spin manifold），，阿蒂亚-辛格-狄拉克算子局部定义如下：对于∈和在x处的切空间的局部标准正交基(), ..., ()，阿蒂亚-辛格-狄拉克算子是

其中${\displaystyle \stackrel{~<!--\; ~\; -->}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}}$上的列维-奇维塔联络到上的旋量丛的提升。

在克利福德分析中，算子: ∞(R ⊗ R,)→∞(R ⊗R,C ⊗)作用在如下定义的旋量值函数

有时被称为克利福德变量的狄拉克算子。上面符号中，是旋量空间，是旋量空间，${\displaystyle x_i=(x_{i1},x_{i2},\dots <!--\; \dots \; -->,x_{in})}$个变量的分量。这是狄拉克算子（）和杜比尔特算子（英语：Dolbeault operator）（， 任意）的一般推广。这是一个不变微分算子（英语：invariant differential operator），在群SL()×Spin()的作用下不变。的分解只在一些特殊情形是已知的。