狄拉克算子

✍ dations ◷ 2025-08-01 04:33:36 #微分算子,数学物理,量子力学

在数学和量子力学中,狄拉克算子(英语:Dirac operator)是一个微分算子,它是二阶微分算子(如拉普拉斯算子)的形式平方根。保罗·狄拉克研究的原始案例是形式分解闵可夫斯基空间的算子,得到一种与狭义相对论兼容的量子理论形式;为了得到由一阶算子产生的拉普拉斯算子,他引入了旋量。

一般的,令D是作用于黎曼流形M上的向量丛V的一阶微分算子。如果

其中∆是V上的拉普拉斯算子,则D被称为狄拉克算子。

在高能物理中,这个条件经常被放松:只有2的二阶部分必须等于拉普拉斯算子。

例1: ∂是作用在直线上的切线丛的狄拉克算子。

例2: 我们现在考虑一个物理学中重要的简单丛:一个限制在平面上带有½自旋的粒子的位形空间,这也是一个基本流形。它被表示为波函数ψ: R2→C2

其中x和y是R2上的坐标。χ表示自旋向上粒子的概率幅,η与之类似。所谓的自旋狄拉克算子可以被写为

其中σ 是泡利矩阵。通过泡利矩阵的反对易关系可以知道上面定义的性质是显然的。这些定义了克利福德代数的概念。

旋量场的狄拉克方程的解常被称为调和旋量。

例3: 描述三维空间中自由费米子的传播的狄拉克算子可以写为

其中用到费曼斜线标记。

例4: 在克利福德分析(英语:Clifford analysis)中也有狄拉克算子。 在n维欧几里得空间中是

其中{: = 1, ..., }是n维欧几里得空间的标准正交基,考虑R嵌入一个克利福德代数。

这是阿蒂亚-辛格-狄拉克算子作用于旋量丛的特殊情形。

例5: 对于一个自旋流形(英语:spin manifold),,阿蒂亚-辛格-狄拉克算子局部定义如下:对于∈和在x处的切空间的局部标准正交基(), ..., (),阿蒂亚-辛格-狄拉克算子是

其中 Γ ~ {\displaystyle {\tilde {\Gamma }}} 上的列维-奇维塔联络到上的旋量丛的提升。

在克利福德分析中,算子: ∞(R ⊗ R,)→∞(R ⊗R,C ⊗)作用在如下定义的旋量值函数

有时被称为克利福德变量的狄拉克算子。上面符号中,是旋量空间,是旋量空间, x i = ( x i 1 , x i 2 , , x i n ) {\displaystyle x_{i}=(x_{i1},x_{i2},\ldots ,x_{in})} 个变量的分量。这是狄拉克算子()和杜比尔特算子(英语:Dolbeault operator)(, 任意)的一般推广。这是一个不变微分算子(英语:invariant differential operator),在群SL()×Spin()的作用下不变。的分解只在一些特殊情形是已知的。

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