在数学中,一个有穷或无穷的序列。这时可以定义级数-级数是指通项为,当有界,这时
收敛,
,要么部分和数列趋于正无穷,这时级数发散。
设
和
是正项级数。
比如,我们已知级数:
收敛,则级数:
也收敛,因为对任意的
,
。
比较判别法的特点是要已知若干级数的敛散性。一般来说,我们可以选择比较简单的级数:
作为“标准级数”,依此判断其他函数的敛散性。需要知道的是当
时,
发散,当
时,
收敛。
在比较判别法中,如果取几何级数为比较的标准级数,可得:
这个判别法也称为比值判别法或比值审敛法。
这个判别法也称为根值判别法或根值审敛法'。
具有以下形式的级数
其中所有的
非负,被称作交错级数。
在上述的级数
中,如果当
趋于无穷时, 数列
的极限存在且等于 0,并且每个
小于
(即, 数列
是单调递减的),那么级数收敛。
对于通项为任意实数的无穷级数
,将级数
称为它的绝对值级数。可以证明,如果
收敛,那么
也收敛,这时称
绝对收敛。如果
收敛,但是
发散,则称
条件收敛。比如说,级数
绝对收敛,因为前面已经证明
收敛。而级数
是条件收敛的。它自身收敛到
,但是它的绝对值级数
是发散的。
黎曼级数定理说明,如果一个无穷级数
条件收敛,那么对于任意的实数
,存在一个正整数到正整数的双射
,使得级数
收敛到
。对于正负无穷大,上述双射也存在。
设
为定义在区间
上的函数列,则表达式:
称为函数项级数,简记为
。对函数项级数的主要研究是:
对区间
上的每个
,级数
是常数项级数。若
收敛,则称
是
的一个收敛点,
全体收敛点的集合称为它的收敛域。若
发散,则称
是
的一个发散点,
全体发散点的集合称为它的发散域。
在其收敛域的每一点上都有定义,因此定义了一个函数,称为
的和函数,记为
。按照定义,
,其中
为函数项级数在
点上的部分和。
函数项级数的取值可以在它的收敛域上用和函数定义,但和函数的性质可能会和级数的每一项不同。比如说,当函数项级数
中的每一项
在收敛域上都是连续函数时,和函数未必会是连续函数。以下是一个例子:
然而,如果函数项级数能够满足某些更严格的条件的话,可以证明级数的和函数的规则性将会等于每一项函数的规则性,这就是所谓的一致收敛性质。和函数列的一致收敛性质一样,函数项级数
在某个区间
内(关于某个范数
)一致收敛的定义是它的部分和函数
在区间
上一致收敛到和函数
,
可以证明:
如果级数
在区间
内一致收敛,并且每个
都是连续函数,那么和函数
在区间
上也是连续函数。
进一步的,如果导函数级数的每一项都是
函数(
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