级数

在数学中，一个有穷或无穷的序列${\displaystyle u_1,u_2,u_3,u_4\dots <!--\; \dots \; -->}$。这时可以定义级数${\displaystyle \sum <!--\; \sum \; -->u_n}$-级数是指通项为${\displaystyle \frac{1}{n^p}}$，当${\displaystyle p>1}$有界，这时${\displaystyle \sum <!--\; \sum \; -->u_n}$收敛，${\displaystyle \underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{S}_n=s}$，要么部分和数列趋于正无穷，这时级数发散。

设${\displaystyle \sum <!--\; \sum \; -->u_n}$ 和 ${\displaystyle \sum <!--\; \sum \; -->v_n}$是正项级数。

比如，我们已知级数：${\displaystyle \sum <!--\; \sum \; -->\frac{1}{n^2}}$收敛，则级数：${\displaystyle \sum <!--\; \sum \; -->\frac{|\sin <!--\; \; -->n|}{n^2}}$也收敛，因为对任意的${\displaystyle n}$，${\displaystyle \sin <!--\; \; -->n\le <!--\; \le \; -->1}$。

比较判别法的特点是要已知若干级数的敛散性。一般来说，我们可以选择比较简单的级数：${\displaystyle U_p=\sum <!--\; \sum \; -->\frac{1}{n^p}}$作为“标准级数”，依此判断其他函数的敛散性。需要知道的是当${\displaystyle p\le <!--\; \le \; -->1}$时，${\displaystyle U_p}$发散，当${\displaystyle p>1}$时，${\displaystyle U_p}$收敛。

在比较判别法中，如果取几何级数为比较的标准级数，可得：

这个判别法也称为比值判别法或比值审敛法。

这个判别法也称为根值判别法或根值审敛法'。

具有以下形式的级数

其中所有的${\displaystyle a_n}$非负，被称作交错级数。

在上述的级数${\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(-<!--\; -\; -->1{)}^n{a}_n}$中，如果当${\displaystyle n}$趋于无穷时, 数列${\displaystyle a_n}$的极限存在且等于 0，并且每个${\displaystyle a_n}$小于${\displaystyle a_{n-<!--\; -\; -->1}}$（即, 数列${\displaystyle a_n}$是单调递减的），那么级数收敛。

对于通项为任意实数的无穷级数${\displaystyle \sum <!--\; \sum \; -->u_n}$，将级数${\displaystyle \sum <!--\; \sum \; -->|u_n|}$称为它的绝对值级数。可以证明，如果${\displaystyle \sum <!--\; \sum \; -->|u_n|}$收敛，那么 ${\displaystyle \sum <!--\; \sum \; -->u_n}$也收敛，这时称 ${\displaystyle \sum <!--\; \sum \; -->u_n}$绝对收敛。如果${\displaystyle \sum <!--\; \sum \; -->u_n}$收敛，但是${\displaystyle \sum <!--\; \sum \; -->|u_n|}$发散，则称${\displaystyle \sum <!--\; \sum \; -->u_n}$条件收敛。比如说，级数${\displaystyle \sum <!--\; \sum \; -->\frac{\sin <!--\; \; -->n}{n^2}}$绝对收敛，因为前面已经证明 ${\displaystyle \sum <!--\; \sum \; -->\frac{|\sin <!--\; \; -->n|}{n^2}}$收敛。而级数${\displaystyle \sum <!--\; \sum \; -->\frac{(-<!--\; -\; -->1{)}^n}{n}}$是条件收敛的。它自身收敛到${\displaystyle \ln <!--\; \; -->\frac{1}{2}}$，但是它的绝对值级数${\displaystyle \sum <!--\; \sum \; -->\frac{1}{n}}$是发散的。

黎曼级数定理说明，如果一个无穷级数${\displaystyle \sum <!--\; \sum \; -->u_n}$条件收敛，那么对于任意的实数${\displaystyle x}$，存在一个正整数到正整数的双射${\displaystyle \mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}$，使得级数${\displaystyle \sum <!--\; \sum \; -->u_{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(n)}}$收敛到 ${\displaystyle x}$。对于正负无穷大，上述双射也存在。

设${\displaystyle (u_n(x){)}_{n\ge <!--\; \ge \; -->0}}$为定义在区间${\displaystyle \mathcal{I}}$上的函数列，则表达式：${\displaystyle u_1(x)+u_2(x)+\cdots <!--\; \cdots \; -->+u_n(x)+\cdots <!--\; \cdots \; -->}$称为函数项级数，简记为${\displaystyle \sum <!--\; \sum \; -->u_n(x)}$。对函数项级数的主要研究是：

对区间${\displaystyle \mathcal{I}}$上的每个 ${\displaystyle x_0}$，级数 ${\displaystyle \sum <!--\; \sum \; -->u_n(x_0)}$是常数项级数。若${\displaystyle \sum <!--\; \sum \; -->u_n(x_0)}$收敛，则称${\displaystyle x_0}$是${\displaystyle \sum <!--\; \sum \; -->u_n(x)}$的一个收敛点，${\displaystyle \sum <!--\; \sum \; -->u_n(x)}$全体收敛点的集合称为它的收敛域。若${\displaystyle \sum <!--\; \sum \; -->u_n(x_0)}$发散，则称${\displaystyle x_0}$是${\displaystyle \sum <!--\; \sum \; -->u_n(x)}$的一个发散点，${\displaystyle \sum <!--\; \sum \; -->u_n(x)}$全体发散点的集合称为它的发散域。${\displaystyle \sum <!--\; \sum \; -->u_n(x)}$在其收敛域的每一点上都有定义，因此定义了一个函数，称为${\displaystyle \sum <!--\; \sum \; -->u_n(x)}$的和函数，记为${\displaystyle S(x)}$。按照定义，${\displaystyle S(x_0)=\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{S}_n(x_0)}$，其中${\displaystyle S_n(x_0)=u_1(x_0)+u_2(x_0)+\cdots <!--\; \cdots \; -->+u_n(x_0)}$为函数项级数在${\displaystyle x_0}$点上的部分和。

函数项级数的取值可以在它的收敛域上用和函数定义，但和函数的性质可能会和级数的每一项不同。比如说，当函数项级数${\displaystyle \sum <!--\; \sum \; -->u_n(x)}$中的每一项${\displaystyle u_n(x)}$在收敛域上都是连续函数时，和函数未必会是连续函数。以下是一个例子：

然而，如果函数项级数能够满足某些更严格的条件的话，可以证明级数的和函数的规则性将会等于每一项函数的规则性，这就是所谓的一致收敛性质。和函数列的一致收敛性质一样，函数项级数${\displaystyle \sum <!--\; \sum \; -->u_n(x)}$在某个区间${\displaystyle \mathcal{I}}$内（关于某个范数${\displaystyle \Vert \cdot <!--\; \cdot \; -->\Vert }$）一致收敛的定义是它的部分和函数${\displaystyle S_n}$ 在区间${\displaystyle \mathcal{I}}$上一致收敛到和函数${\displaystyle S}$，

可以证明：

如果级数${\displaystyle \sum <!--\; \sum \; -->u_n(x)}$ 在区间${\displaystyle \mathcal{I}}$ 内一致收敛，并且每个${\displaystyle u_n(x)}$ 都是连续函数，那么和函数${\displaystyle S}$ 在区间${\displaystyle \mathcal{I}}$ 上也是连续函数。

进一步的，如果导函数级数的每一项都是${\displaystyle {\mathcal{C}}^p}$函数（${\displaystyle p}$

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