级数

✍ dations ◷ 2025-07-27 16:25:38 #级数,无穷,高等数学

在数学中,一个有穷或无穷的序列 u 1 , u 2 , u 3 , u 4 {\displaystyle u_{1},u_{2},u_{3},u_{4}\ldots } 。这时可以定义级数 u n {\displaystyle \sum u_{n}} -级数是指通项为 1 n p {\displaystyle {\frac {1}{n^{p}}}} ,当 p > 1 {\displaystyle p>1} 有界,这时 u n {\displaystyle \sum u_{n}} 收敛, lim n S n = s {\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}=s} ,要么部分和数列趋于正无穷,这时级数发散。

u n {\displaystyle \sum u_{n}} v n {\displaystyle \sum v_{n}} 是正项级数。

比如,我们已知级数: 1 n 2 {\displaystyle \sum {1 \over n^{2}}} 收敛,则级数: | sin n | n 2 {\displaystyle \sum {|\sin n| \over n^{2}}} 也收敛,因为对任意的 n {\displaystyle n} sin n 1 {\displaystyle \sin n\leq 1}

比较判别法的特点是要已知若干级数的敛散性。一般来说,我们可以选择比较简单的级数: U p = 1 n p {\displaystyle U_{p}=\sum {1 \over n^{p}}} 作为“标准级数”,依此判断其他函数的敛散性。需要知道的是当 p 1 {\displaystyle p\leq 1} 时, U p {\displaystyle U_{p}} 发散,当 p > 1 {\displaystyle p>1} 时, U p {\displaystyle U_{p}} 收敛。

在比较判别法中,如果取几何级数为比较的标准级数,可得:

这个判别法也称为比值判别法或比值审敛法。

这个判别法也称为根值判别法或根值审敛法'。

具有以下形式的级数

其中所有的 a n {\displaystyle a_{n}} 非负,被称作交错级数。

在上述的级数 n = 0 ( 1 ) n a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}\!} 中,如果当 n {\displaystyle n} 趋于无穷时, 数列 a n {\displaystyle a_{n}} 的极限存在且等于 0,并且每个 a n {\displaystyle a_{n}} 小于 a n 1 {\displaystyle a_{n-1}} (即, 数列 a n {\displaystyle a_{n}} 是单调递减的),那么级数收敛。

对于通项为任意实数的无穷级数 u n {\displaystyle \sum u_{n}} ,将级数 | u n | {\displaystyle \sum |u_{n}|} 称为它的绝对值级数。可以证明,如果 | u n | {\displaystyle \sum |u_{n}|} 收敛,那么 u n {\displaystyle \sum u_{n}} 也收敛,这时称 u n {\displaystyle \sum u_{n}} 绝对收敛。如果 u n {\displaystyle \sum u_{n}} 收敛,但是 | u n | {\displaystyle \sum |u_{n}|} 发散,则称 u n {\displaystyle \sum u_{n}} 条件收敛。比如说,级数 sin n n 2 {\displaystyle \sum {\sin n \over n^{2}}} 绝对收敛,因为前面已经证明 | sin n | n 2 {\displaystyle \sum {|\sin n| \over n^{2}}} 收敛。而级数 ( 1 ) n n {\displaystyle \sum {(-1)^{n} \over n}} 是条件收敛的。它自身收敛到 ln 1 2 {\displaystyle \ln {1 \over 2}} ,但是它的绝对值级数 1 n {\displaystyle \sum {1 \over n}} 是发散的。

黎曼级数定理说明,如果一个无穷级数 u n {\displaystyle \sum u_{n}} 条件收敛,那么对于任意的实数 x {\displaystyle x} ,存在一个正整数到正整数的双射 σ {\displaystyle \sigma } ,使得级数 u σ ( n ) {\displaystyle \sum u_{\sigma (n)}} 收敛到 x {\displaystyle x} 。对于正负无穷大,上述双射也存在。

( u n ( x ) ) n 0 {\displaystyle (u_{n}(x))_{n\geq 0}} 为定义在区间 I {\displaystyle {\mathcal {I}}} 上的函数列,则表达式: u 1 ( x ) + u 2 ( x ) + + u n ( x ) + {\displaystyle u_{1}(x)+u_{2}(x)+\cdots +u_{n}(x)+\cdots } 称为函数项级数,简记为 u n ( x ) {\displaystyle \sum u_{n}(x)} 。对函数项级数的主要研究是:

对区间 I {\displaystyle {\mathcal {I}}} 上的每个 x 0 {\displaystyle x_{0}} ,级数 u n ( x 0 ) {\displaystyle \sum u_{n}(x_{0})} 是常数项级数。若 u n ( x 0 ) {\displaystyle \sum u_{n}(x_{0})} 收敛,则称 x 0 {\displaystyle x_{0}} u n ( x ) {\displaystyle \sum u_{n}(x)} 的一个收敛点, u n ( x ) {\displaystyle \sum u_{n}(x)} 全体收敛点的集合称为它的收敛域。若 u n ( x 0 ) {\displaystyle \sum u_{n}(x_{0})} 发散,则称 x 0 {\displaystyle x_{0}} u n ( x ) {\displaystyle \sum u_{n}(x)} 的一个发散点, u n ( x ) {\displaystyle \sum u_{n}(x)} 全体发散点的集合称为它的发散域。 u n ( x ) {\displaystyle \sum u_{n}(x)} 在其收敛域的每一点上都有定义,因此定义了一个函数,称为 u n ( x ) {\displaystyle \sum u_{n}(x)} 的和函数,记为 S ( x ) {\displaystyle S(x)} 。按照定义, S ( x 0 ) = lim n S n ( x 0 ) {\displaystyle S(x_{0})=\lim _{n\to \infty }S_{n}(x_{0})} ,其中 S n ( x 0 ) = u 1 ( x 0 ) + u 2 ( x 0 ) + + u n ( x 0 ) {\displaystyle S_{n}(x_{0})=u_{1}(x_{0})+u_{2}(x_{0})+\cdots +u_{n}(x_{0})} 为函数项级数在 x 0 {\displaystyle x_{0}} 点上的部分和。

函数项级数的取值可以在它的收敛域上用和函数定义,但和函数的性质可能会和级数的每一项不同。比如说,当函数项级数 u n ( x ) {\displaystyle \sum u_{n}(x)} 中的每一项 u n ( x ) {\displaystyle u_{n}(x)} 在收敛域上都是连续函数时,和函数未必会是连续函数。以下是一个例子:

然而,如果函数项级数能够满足某些更严格的条件的话,可以证明级数的和函数的规则性将会等于每一项函数的规则性,这就是所谓的一致收敛性质。和函数列的一致收敛性质一样,函数项级数 u n ( x ) {\displaystyle \sum u_{n}(x)} 在某个区间 I {\displaystyle {\mathcal {I}}} 内(关于某个范数 {\displaystyle \left\|\cdot \right\|} )一致收敛的定义是它的部分和函数 S n {\displaystyle S_{n}} 在区间 I {\displaystyle {\mathcal {I}}} 上一致收敛到和函数 S {\displaystyle S}

可以证明:

如果级数 u n ( x ) {\displaystyle \sum u_{n}(x)} 在区间 I {\displaystyle {\mathcal {I}}} 内一致收敛,并且每个 u n ( x ) {\displaystyle u_{n}(x)} 都是连续函数,那么和函数 S {\displaystyle S} 在区间 I {\displaystyle {\mathcal {I}}} 上也是连续函数。

进一步的,如果导函数级数的每一项都是 C p {\displaystyle {\mathcal {C}}^{p}} 函数( p {\displaystyle p}

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