反正弦

✍ dations ◷ 2025-01-23 03:14:04 #数学定理

反正弦（arcsine， $\arcsin$ $\arcsin$ ， $\sin ^{-1}$ $\sin ^{-1}$ ）是一种反三角函数。在三角学中，反正弦被定义为一个角度，也就是正弦值的反函数。正弦函数不是一个对射函数（即多个值可能只得到一个值，例如1和所有同界角），故无法有反函数，但你可以限制其定义域，因此，它是单射和满射也是可逆的。按照定义，我们将实数的定义域限制在区间 $\left$ $\left$ 中的正弦函数，在原始的定义中，若输入值不在区间 ${\displaystyle }$ $\text{[math]}$ ，是没有意义的，但是三角函数扩充到复数之后，若输入值不在区间 ${\displaystyle }$ $\text{[math]}$ ，将传回复数。

反正弦的符号是 $\arcsin$ $\arcsin$ ，也常常计作 $\sin ^{-1}$ $\sin ^{-1}$ ，但这样其实是不明确的，因为，可能会和指数混淆，以致于被当成倒数，但是倒数也有自己的写法，例如 $\sin$ $\sin$ 倒数是 $\csc$ $\csc$ ，因此不易和 $\sin ^{-1}$ $\sin ^{-1}$ 混淆。另外在某些电算器的按键或电脑的编程语言中，反正弦会以asin或asn表示。

原始的定义是将正弦函数限制在 $\left$ $\left$ 的反函数，得到如下定义域和值域：

利用自然对数可将定义推广到整个复数集：

他的微分是：

由于对称关系保持负的参数，根据定义的奇函数，存在如下等式： $\arcsin \left(-x\right)=-\arcsin x$ $\arcsin\left(-x\right)=-\arcsin x$

另外，反正弦的和差也可以核定成一个反正弦来表达：

con $X=\arcsin \left(x_{1}{\sqrt {1-x_{2}^{2}}}\pm x_{2}{\sqrt {1-x_{1}^{2}}}\right)$ $X=\arcsin\left(x_1\sqrt{1-x_2^2}\pm x_2\sqrt{1-x_1^2}\right)$

和差公式：

$\arcsin(x\pm y)=\arcsin \left({\sqrt {\frac {1+x^{2}-y^{2}-{\sqrt {1+x^{4}+y^{4}-2x^{2}y^{2}-2x^{2}-2y^{2}}}}{2}}}\right)\pm \arcsin \left({\sqrt {\frac {1-x^{2}+y^{2}-{\sqrt {1+x^{4}+y^{4}-2x^{2}y^{2}-2x^{2}-2y^{2}}}}{2}}}\right)$ $\arcsin(x \pm y)=\arcsin\left(\sqrt{\frac{1+x^2-y^2-\sqrt{1+x^4+y^4-2x^2y^2-2x^2-2y^2}}{2}}\right) \pm \arcsin\left(\sqrt{\frac{1-x^2+y^2-\sqrt{1+x^4+y^4-2x^2y^2-2x^2-2y^2}}{2}}\right)$

倍变数公式： $\arcsin(2x)=2\arcsin \left({\sqrt {\frac {1-{\sqrt {1-4x^{2}}}}{2}}}\right)$ $\arcsin(2x)=2\arcsin\left(\sqrt{\frac{1-\sqrt{1-4x^2}}{2}}\right)$

$\arcsin \left({\frac {x}{2}}\right)=2\arcsin \left({\sqrt {\frac {1-{\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{4}}}}}{2}}}\right)$ $\arcsin \left({\frac {x}{2}}\right)=2\arcsin \left({\sqrt {\frac {1-{\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{4}}}}}{2}}}\right)$

$\arcsin(kx)=2\arcsin \left({\sqrt {\frac {1-{\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}{2}}}\right)$ $\arcsin(kx)=2\arcsin\left(\sqrt{\frac{1-\sqrt{1-k^2x^2}}{2}}\right)$

per 0 ≤ kx ≤ 1

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