反正弦

反正弦（arcsine，${\displaystyle \arcsin }$，${\displaystyle {\sin }^{-<!--\; -\; -->1}}$）是一种反三角函数。在三角学中，反正弦被定义为一个角度，也就是正弦值的反函数。正弦函数不是一个对射函数（即多个值可能只得到一个值，例如1和所有同界角），故无法有反函数，但你可以限制其定义域，因此，它是单射和满射也是可逆的。按照定义，我们将实数的定义域限制在区间${\displaystyle }$中的正弦函数，在原始的定义中，若输入值不在区间${\displaystyle }$，是没有意义的，但是三角函数扩充到复数之后，若输入值不在区间${\displaystyle }$，将传回复数。

反正弦的符号是${\displaystyle \arcsin }$，也常常计作${\displaystyle {\sin }^{-<!--\; -\; -->1}}$，但这样其实是不明确的，因为，可能会和指数混淆，以致于被当成倒数，但是倒数也有自己的写法，例如${\displaystyle \sin }$倒数是${\displaystyle \csc }$，因此不易和${\displaystyle {\sin }^{-<!--\; -\; -->1}}$混淆。另外在某些电算器的按键或电脑的编程语言中，反正弦会以asin或asn表示。

原始的定义是将正弦函数限制在${\displaystyle }$的反函数，得到如下定义域和值域：

利用自然对数可将定义推广到整个复数集：

他的微分是：

由于对称关系保持负的参数，根据定义的奇函数，存在如下等式：${\displaystyle \arcsin <!--\; \; -->\left(-<!--\; -\; -->x\right)=-<!--\; -\; -->\arcsin <!--\; \; -->x}$

另外，反正弦的和差也可以核定成一个反正弦来表达：

con ${\displaystyle X=\arcsin <!--\; \; -->\left(x_1\sqrt{1-<!--\; -\; -->x_2^2}\pm <!--\; \pm \; -->x_2\sqrt{1-<!--\; -\; -->x_1^2}\right)}$

和差公式：

${\displaystyle \arcsin <!--\; \; -->(x\pm <!--\; \pm \; -->y)=\arcsin <!--\; \; -->\left(\sqrt{\frac{1+x^2-<!--\; -\; -->y^2-<!--\; -\; -->\sqrt{1+x^4+y^4-<!--\; -\; -->2x^2{y}^2-<!--\; -\; -->2x^2-<!--\; -\; -->2y^2}}{2}}\right)\pm <!--\; \pm \; -->\arcsin <!--\; \; -->\left(\sqrt{\frac{1-<!--\; -\; -->x^2+y^2-<!--\; -\; -->\sqrt{1+x^4+y^4-<!--\; -\; -->2x^2{y}^2-<!--\; -\; -->2x^2-<!--\; -\; -->2y^2}}{2}}\right)}$

倍变数公式：${\displaystyle \arcsin <!--\; \; -->(2x)=2\arcsin <!--\; \; -->\left(\sqrt{\frac{1-<!--\; -\; -->\sqrt{1-<!--\; -\; -->4x^2}}{2}}\right)}$

${\displaystyle \arcsin <!--\; \; -->\left(\frac{x}{2}\right)=2\arcsin <!--\; \; -->\left(\sqrt{\frac{1-<!--\; -\; -->\sqrt{1-<!--\; -\; -->\frac{x^2}{4}}}{2}}\right)}$

${\displaystyle \arcsin <!--\; \; -->(kx)=2\arcsin <!--\; \; -->\left(\sqrt{\frac{1-<!--\; -\; -->\sqrt{1-<!--\; -\; -->k^2{x}^2}}{2}}\right)}$

per 0 ≤ kx ≤ 1

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