三角形

三角形，又称三边形，是由三条线段顺次首尾相连，或不共线的三点两两连接，所组成的一个闭合的平面图形，是最基本和最少边的多边形。一般用大写英语字母 A {displaystyle A} 、 B {displaystyle B} 和 C {displaystyle C} 为三角形的顶点标号；用小写英语字母 a {displaystyle a} 、 b {displaystyle b} 和 c {displaystyle c} 表示边；用 α {displaystyle alpha } 、 β {displaystyle beta } 和 γ {displaystyle gamma } 给角标号，又或者以 ∠ A B C {displaystyle angle ABC} 这样的顶点标号来表示。锐角三角形的所有内角均为锐角（即小于90°）。钝角三角形是其中一角为钝角（大于90°）的三角形，其余两角均小于90°。有一个角是直角（90°）的三角形为直角三角形。成直角的两条边称为“直角边”（cathetus），直角所对的边是“斜边”（hypotenuse）；或最长的边称为“弦”，底部的一边称作“勾”（又作“句”），另一边称为“股”。斜边乘上斜边上的高÷2=勾股相乘÷2=此直角三角形面积（ch=ab）直角三角形各边与角度的关系，可以三角比表示。详见三角函数。三条边边长皆不相等的三角形称为不等边三角形。等边三角形（又称正三角形），为三边相等的三角形。其三个内角相等，均为60°。它是锐角三角形的一种。设其边长是 a {displaystyle a} ，则其面积公式为 a 2 3 4 {displaystyle {frac {a^{2}{sqrt {3}}}{4}}} 。等边三角形是正四面体、正八面体和正二十面体这三个正多面体面的形状。六个边长相同的等边三角形可以拼成一个正六边形。等腰三角形是三条边中有两条边相等（或是其中两只内角相等）的三角形。等腰三角形中的两条相等的边被称为“腰”，而另一条边被称为“底边”，两条腰交叉组成的那个点被称为“顶点”，它们组成的角被称为“顶角”。等边三角形和等腰直角三角形是等腰三角形的特殊形式。退化三角形是指面积为零的三角形。满足下列条件之一的三角形即可称为退化三角形：三个内角的度数为(180°,0°,0°)或(90°,90°,0°)；三边其中一条边的长度为0；一条边的长度等于另外两条之和。有人认为退化三角形并不能算是三角形，这是由于它介乎于三角不等式之间，在一些资料中已否定了其中一条边等于其余两条边之和的情况。勒洛三角形（英语：Reuleaux triangle），也译作莱洛三角形或弧三角形，又被称为划粉形或曲边三角形，是除了圆形以外，最简单易懂的勒洛多边形，一个定宽曲线。将一个曲线图放在两条平行线中间，使之与这两平行线相切，则可以做到：无论这个曲线图如何运动，只要它还是在这两条平行线内，就始终与这两条平行线相切。这个定义由十九世纪的德国工程师Franz Reuleaux（英语：Franz Reuleaux）命名。三角形具有稳定性，若二个三角形有以下的边角关系确定后，它的形状、大小就不会改变，二个三角形即为全等三角形。注意，SSA（Side-Side-Angle、边、边、角）不能保证两个三角形全等，除非该角大于等于90°。三角形中有着一些特殊线段，是三角形研究的重要对象。以上特殊线段，每个三角形均有三条，且三线共点。设在 Δ A B C {displaystyle Delta ABC,} 中，若三边 a {displaystyle a} 、 b {displaystyle b} 、 c {displaystyle c,} 的中线分别为 m a {displaystyle m_{a}} 、 m b {displaystyle m_{b}} 、 m c {displaystyle m_{c}} ，则：设在 Δ A B C {displaystyle Delta ABC,} 中，连接三个顶点 A {displaystyle A} 、 B {displaystyle B} 、 C {displaystyle C} 上的高分别记作 h a {displaystyle h_{a}} 、 h b {displaystyle h_{b}} 、 h c {displaystyle h_{c}} ，则：其中 s = a + b + c 2 {displaystyle s={frac {a+b+c}{2}}} 。设在 Δ A B C {displaystyle Delta ABC,} 中，若三个角 A {displaystyle A} 、 B {displaystyle B} 、 C {displaystyle C} 的角平分线分别为 t a {displaystyle t_{a}} 、 t b {displaystyle t_{b}} 、 t c {displaystyle t_{c}} ，则：三角形的内心、外心、垂心及形心称为三角形的四心，定义如下：关于三角形的四心，有这样的一首诗：外心中点垂线伸， 垂心垂直画三高， 形心角连线中心。垂心（蓝）、形心（黄）和外心（绿）能连成一线，且成比例1:2，称为欧拉线，与九点圆的圆心（红）四点共线，为垂心和形心线段的中点。连同以下的旁心，合称为三角形的五心：设外接圆半径为 R {displaystyle R} ， 内切圆半径为 r {displaystyle r} ，则：其中 △ {displaystyle triangle } 为三角形面积； s {displaystyle s} 为三角形半周长， s = a + b + c 2 {displaystyle s={frac {a+b+c}{2}}}三角形的面积 A {displaystyle A} 是底边 b {displaystyle b} 与高 h {displaystyle h} 乘积的一半，即：其中的高是指底边与对角的垂直距离。从右图可知，将两个全等三角形相拼，可得一平行四边形。而将该平行四边形分割填补，正好能得到一个面积等于 b h {displaystyle bh} 的长方形。因此原来的三角形面积为证毕。设 a {displaystyle a} b {displaystyle b} 为已知的两边， γ {displaystyle gamma } 为该两边的夹角，则三角形面积是：观察右图，根据正弦的定义：因此：将此式代入基本公式，可得：证毕。β {displaystyle beta } 、 γ {displaystyle gamma } 为已知的两角， a {displaystyle a} 为该两角的夹边，则三角形面积是：从正弦定理可知：代入 A = 1 2 a b sin ⁡ γ {displaystyle A={frac {1}{2}}absin gamma } ，得：注意到 α + β + γ = 180 ∘ {displaystyle alpha +beta +gamma =180^{circ }} ，因此：证毕。海伦公式，其表示形式为：其中 s {displaystyle s} 等于三角形的半周长，即：秦九韶亦求过类似的公式，称为三斜求积法：也有用幂和来表示的公式：亦可用Cayley–Menger行列式表示的公式：基于海伦公式在三角形拥有非常小的角度时并不数值稳定，有一个变化的计法。设 a ≥ b ≥ c {displaystyle ageq bgeq c} ，三角形面积为：设 a {displaystyle a} 、 b {displaystyle b} 、 c {displaystyle c} 为三角形三条边， α {displaystyle alpha } 、 β {displaystyle beta } 、 γ {displaystyle gamma } 为相应边的对角。从余弦定理可知：以毕氏三角恒等式可得：将此式代入 A = 1 2 a b sin ⁡ γ {displaystyle A={frac {1}{2}}absin {gamma }} ，得：因式分解及简化后可得：代入 s = a + b + c 2 {displaystyle s={frac {a+b+c}{2}}} ，即可证毕。由 ( x 1 , y 1 ) {displaystyle (x_{1},y_{1})} 、 ( x 2 , y 2 ) {displaystyle (x_{2},y_{2})} 及 ( x 3 , y 3 ) {displaystyle (x_{3},y_{3})} 三个顶点构成的三角形，其面积可用行列式的绝对值表示：无论三角形的顶点位置如何，该三角形总可以用一个直角梯形（或矩形）和两个直角三角形面积的和差来表示，而在直角坐标系中，已知直角梯形（或矩形）和直角三角形的顶点的坐标，该三角形的面积容易求出，即用上述的行列式表示。若三个顶点设在三维座标系上，即由 ( x 1 , y 1 , z 1 ) {displaystyle (x_{1},y_{1},z_{1})} 、 ( x 2 , y 2 , z 2 ) {displaystyle (x_{2},y_{2},z_{2})} 及 ( x 3 , y 3 , z 3 ) {displaystyle (x_{3},y_{3},z_{3})} 三个顶点构成三角形，其面积等于各自在主平面上投影面积的毕氏和，即：设三角形三边边长分别为 a {displaystyle a} 、 b {displaystyle b} 及 c {displaystyle c} ，三角形半周长（ a + b + c 2 {displaystyle {frac {a+b+c}{2}}} ）为 s {displaystyle s} ，内切圆半径为 r {displaystyle r} ，则：若设外接圆半径为 R {displaystyle R} ，则：内切圆半径公式根据右图，设 A B ¯ = c {displaystyle {overline {AB}}=c} ， A C ¯ = b {displaystyle {overline {AC}}=b} ， B C ¯ = a {displaystyle {overline {BC}}=a} ，则三角形面积可表示为：外接圆半径公式根据正弦定理：因此：设从一角出发，引出两边的向量为 a {displaystyle mathbf {a} } 及 b {displaystyle mathbf {b} } ，三角形的面积为：根据向量积定义， | a × b | = | a | | b | sin ⁡ γ {displaystyle |mathbf {a} times mathbf {b} |=|mathbf {a} ||mathbf {b} |sin gamma } ， 其中 γ {displaystyle gamma } 是两支向量的夹角。因此：证毕。在三角形 A B C {displaystyle ABC,} 中，三个角的半角的正切和三边有如下关系：以正弦及余弦之比表示正切：因为所以而所以即同理可得