高斯散度定理

高斯公式（Gauss's law），又称为高斯通量理论（Gauss' flux theorem）、散度定理（Divergence Theorem）、高斯散度定理（Gauss's Divergence Theorem）、高斯－奥斯特罗格拉德斯基公式或高－奥公式，是指在向量分析中，一个把向量场通过闭合曲面的流动（即通量）与曲面内部的向量场的表现联系起来的定理。该定理与斯托克斯定理（Stokes' Theorem）是向量中两大重要定理。

更加精确地说，高斯公式说明向量场穿过曲面的通量，等于散度在曲面围起来的体积上的积分。直观地，所有源点的和减去所有汇点的和，就是流出这区域的净流量。

高斯公式在工程数学中是一个很重要的结果，特别是静电学和流体力学。

在物理和工程中，散度定理通常运用在三维空间中。然而，它可以推广到任意维数。在一维，它等价于微积分基本定理；在二维，它等价于格林公式。

设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面Σ所围起来的三维区域，函数(,,)、(,,)、(,,)在Ω上具有一阶连续偏导数，则有

或

这里Σ是Ω的边界（boundary），cos α、cos β、cos γ是Σ在点(,,)处的单位法向量的方向余弦。

这两个公式都叫做高斯公式，不过这两公式仅仅是表达方式不同，其实是相同的定理，这可以用变数变换得到两公式的右边都等于 ${\displaystyle {\iint <!--\; \iint \; -->}_{\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}}(P,Q,R)\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{n}dS}$代表有一间单闭曲面为边界的体积，${\displaystyle \mathbf{f}}$中和上连续可微的向量场。如果${\displaystyle d\mathbf{S}}$/3.

二阶张量的高斯公式实际上是上面的高斯公式的推论。为了使内容完整，首先简要地介绍三维欧几里得空间上的二阶张量（详见并矢张量或张量积）以及相关的概念和记号。在这里，向量和向量场用黑斜体字母表示，张量用正黑体字母表示。

所以，一般说来，${\displaystyle \mathbf{T}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathit{a}\ne <!--\; \ne \; -->\mathit{a}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{T}}$${\displaystyle {\mathbf{T}}^{\prime }}$（又可以记为${\displaystyle {\mathbf{T}}^{\mathrm{t}}}$），定义如下：

定理：设 ${\displaystyle V}$是三维欧几里得空间中的一个有限区域，${\displaystyle S}$是它的边界曲面，${\displaystyle \stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathit{n}}}$是${\displaystyle S}$的外法线方向上的单位向量，${\displaystyle \mathbf{T}}$是定义在${\displaystyle V}$的某个开邻域上的${\displaystyle C^1}$连续的二阶张量场，${\displaystyle {\mathbf{T}}^{\prime }}$是${\displaystyle \mathbf{T}}$的转置，则

证明：下面以第二个式子为例进行证明。令第二个式子的左边为${\displaystyle \mathit{F}}$，则

接下来利用向量场的高斯公式，可得

于是

至此证毕。