枢纽定理

✍ dations ◷ 2025-12-04 20:15:50 #枢纽定理

枢纽定理是一个平面几何定理，是三角形的基本性质之一，通常会以两组三角形作比较。若有两组三角形，这两个三角形有两组对应边相等，则三角形的边所夹的角，角度愈大，则三角形的第三边也愈大。枢纽定理也有正定理和逆定理之分，正性质是由夹角的角度大小推出第三边的长短，而逆性质则是由第三边的长短来推出对角夹角角度大小。

枢纽的枢是指门在转动时的轴心，枢纽又叫“活页”或“后纽”；纽有脉络或系带的意思。类似一个事情的脉络或主轴的意思，这边借由其夹角转动来比喻以一个轴心固定两个边。

证明的方法不只一种，以下给出其中一种证明。如图，给出两个三角形，△ABC及△A'B'C'，边AB=边A'B'，边AC=边A'C'，∠A>∠A'。如图，将边AB与边A'B'重叠。

Triangle-shu-niu-A Triangle-shu-niu-B Triangle-shu-niu-C

作∠C'AC的角平分线，交边BC于D点，连接C'D。

Triangle-shu-niu-D

∵边AD=边A'D

∠CAD=∠C'AD

边AC=边AC'

∴△ACD≅△AC'D (SAS全等性质)

故CD=C'D

又一三角形任两边之和大于第三边，边BD+边DC'>边BC'，则边BD+边DC>边BC'，故边BC>边B'C'。

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