运动学

运动学（kinematics）是力学的一门分支，专门描述物体的运动，即物体在空间中的位置随时间的演进而作的改变，完全不考虑作用力或质量等等影响运动的因素。运动学与力动学、动力学不同。力动学专门研究造成运动或影响运动的各种因素。动力学综合运动学与力动学在一起，研究力学系统由于力的作用随着时间演进而造成的运动。任何一个物体，像是车子、火箭、星球等等，不论其尺寸大小，假若能够忽略其内部的相对运动，假若其内部的每一部分都是朝相同的方向、以相同的速度移动，那么，可以简易地将此物体视为质点，将此物体的质心的位置当作质点的位置。在运动学里，这种质点运动，不论是直线运动或是曲线运动，都是最基本的研究对象。假若不能忽略物体内部的相对运动，则当解析其运动时，必须先将物体理想化为刚体，即一群彼此之间距离不变的质点。涉及刚体的问题比较困难。刚体可能会进行平移运动、旋转运动或两者的综合。更困难的案例是多刚体系统的运动。在这系统内，几个刚体由机械连杆连结在一起。运动学分析某连杆装置的可能运动范围，或反过来，设计满足预定运动范围的连杆装置。起重机或引擎活塞系统都是简单的运动系统。起重机是一种开运动链。活塞系统是四连杆组的一部分。质点运动学研究关于单独质点的运动。从这方面得到的知识可以应用于研究质点动力学、一群质点的研究和其它力学领域。按照路径的弯曲与否，质点运动可以分为直线运动与曲线运动。在三维空间里，详细设定一个点P的位置需要完成三件事，找到参考点O（通常称为原点）、给出从点O到点P的距离、给出从点O到点P的直线方向；缺少其中任何资料，都会使得位置的描述不完全。例如，试想在您住家的南方，距离50米之远，有一座巨塔。从这句话，可以知道，参考点是住家，距离是50米，方向是朝南方。假设，游客问您：“巨塔在哪里？”您只回答说：“巨塔是在南方，距离有50米之远的地方。”很自然地，游客会疑问：“在哪里的南方50米？”假若您只回答说：“巨塔是在住家的南方。”游客立刻就会问到：“离住家有多远？”假若您只回答说：“巨塔离住家有50米远。”则游客紧接地就会问到：“是朝哪个方向？”所以，这三个资料唯一地决定了点P的位置。将上述的资料数学化，用矢量来描述位置。首先，为了要能够一致地表示距离或方向，必须选择一个三维坐标系，设定坐标系的原点O为参考点，以三维坐标系为参考系。这样，位置矢量的大小就是点P离参考点的距离，而位置矢量的方向就是从参考点到点P的直线方向。质点的位置矢量是从参考系的原点到质点的位置的矢量。这矢量表达了从原点到质点位置的距离和方向。在三维空间里，点P的位置矢量 r {displaystyle mathbf {r} } 表达为其中， x {displaystyle x} 、 y {displaystyle y} 、 z {displaystyle z} 分别为点P的直角坐标。位置矢量 r {displaystyle mathbf {r} } 的大小是点P与原点之间的距离：从不同的参考系观测点P的位置，可以得到不同的位置矢量。从某参考系观测，假若质点的位置矢量随着时间的演进而改变，则称此质点处于“移动状态”；假若质点的位置矢量保持不变，则称此质点处于“静止状态”。请注意，不论是移动状态或是静止状态，都依赖选择的参考系而定。对于某参考系，处于静止状态的质点，对于另一个参考系，可能处于移动状态。所以，移动状态或静止状态都不是绝对的，都跟选择的参考系有关。例如，假设在一辆移动中的火车内部有一位乘客。相对于火车，这乘客处于静止状态；但相对于火车外面的山岭，这乘客处于移动状态。一个质点的移动“路径”是从初始点移动到终极点所经过的轨迹。假设这初始点就是终结点，而移动时，其它每一个经过的点都只经过一次，则称此路径为“闭合回路”。路径的样子与参考系的选择有关。对于某参考系，路径可能是直线；对于另一个参考系，同样的路径可能是曲线。位移矢量表达两点之间位置的矢量差。它可以表达一个质点在某时间间隔内由于运动而造成的位置改变。假设，点P的位置为 r P = ( x P , y P , z P ) {displaystyle mathbf {r} _{P}=(x_{P},y_{P},z_{P})} ，点Q的位置为 r Q = ( x Q , y Q , z Q ) {displaystyle mathbf {r} _{Q}=(x_{Q},y_{Q},z_{Q})} ，则从点Q到点P的位移 r P / Q {displaystyle mathbf {r} _{P/Q}} 为位移矢量的大小是点P与点Q之间的最短距离。位移矢量与位置矢量不同，位移矢量不会因为选择不同的参考系而改变。但是，在相对论里，假设两个参考系的相对速度不为零，则分别从这两个参考系测量得到的位移矢量也不相等。 距离是一种标量，表达一个质点从某一位置移动到另外一位置，所经过的路径的长度。例如，一部跑车从初始点行驶到终结点，一共行驶了10公里距离的路程。但是，假若这路程是个闭合回路，初始点与终结点相同，则这跑车的最终位移的大小（径向距离）是０，这跑车最终回到了初始点。假设质点的位置是时间的函数， r = r ( t ) {displaystyle mathbf {r} =mathbf {r} (t)} ，则从时间 t 1 {displaystyle t_{1}} 到时间 t 2 {displaystyle t_{2}} ，这质点所移动的距离 s {displaystyle s} 为这方程应用到一个论据：在一段无穷小时间间隔内，位移的大小等于经过的路径的长度。这论据类似于几何论据：曲线的一段无穷小曲弧与对应这曲弧的直弦重叠在一起。平均速度是在一段时间间隔内的速度的平均值，以方程定义为其中， v ¯ {displaystyle {overline {mathbf {v} }}} 是平均速度， Δ r {displaystyle Delta mathbf {r} } 是质点的位移， Δ t {displaystyle Delta t} 是时间间隔。由于时间间隔 Δ t {displaystyle Delta t} 大于零，平均速度 v ¯ {displaystyle {overline {mathbf {v} }}} 与位移 Δ r {displaystyle Delta mathbf {r} } 同向。速度是一种矢量，表达随着时间的演进而发生的位移改变。瞬时速度定义为，当 Δ t {displaystyle Delta t} 变得越来越小时，平均速度 v ¯ {displaystyle {overline {mathbf {v} }}} 的极限值。注意到，在这里， Δ r {displaystyle Delta mathbf {r} } 与 Δ t {displaystyle Delta t} 都会趋向于零，但是它们的比例 v ¯ {displaystyle {overline {mathbf {v} }}} 会趋向于非零极限 v {displaystyle mathbf {v} } ：以微分形式定义，速度是位移对于时间的导数。由于无穷小位移 d r {displaystyle mathrm {d} mathbf {r} } 正切于实际路径，速度也正切于实际路径。速率 v {displaystyle v} 是速度的数值大小，是一种标量：一个质点移动所经过的路径距离是一种单调递增物理量。因此， d s d t {displaystyle {frac {mathrm {d} s}{mathrm {d} t}}} 是个非负数，速率是个非负数。平均加速度是在一段时间间隔内的加速度的平均值，以方程定义为其中， a ¯ {displaystyle {overline {mathbf {a} }}} 是平均加速度， Δ v {displaystyle Delta mathbf {v} } 是质点在微小时间间隔 Δ t {displaystyle Delta t} 内的微小速度改变。加速度是一种表达质点移动速度随着时间的演进而改变的矢量。瞬时加速度定义为当 Δ t {displaystyle Delta t} 趋向于零时，平均加速度的极限值，以方程表达，以微分形式定义，加速度是速度对于时间的导数。上述速度和加速度的定义式可以逆反过来，以积分形式表达为其中， t 0 {displaystyle t_{0}} 是初始时间， v 0 {displaystyle mathbf {v} _{0}} 是初始速度， r 0 {displaystyle mathbf {r} _{0}} 是初始位置。假设，已知质点P、质点Q对于某参考点G的相对运动，应用矢量代数，就可以描述质点P对于质点Q的相对运动。假设，从某参考系观测，质点P、质点Q、参考点G的位置分别为 r P {displaystyle mathbf {r} _{P}} 、 r Q {displaystyle mathbf {r} _{Q}} 、 r G {displaystyle mathbf {r} _{G}} ，则质点P、质点Q对于参考点G的相对位置分别为质点P对于质点Q的相对位置为换句话说，质点P对于参考点G的相对位置为上述这些位移关系式，通过取时间导数，可以得到速度关系式：取时间导数于这些速度关系式，可以得到加速度关系式：特别注意，当速度接近光速时，上述这些位移关系式或速度关系式并不正确，必须改用狭义相对论推导出的关系式计算。在直线运动中，质点沿着直线移动。如果将一个一维坐标系的坐标轴放在这直线上，那么，就可以用其坐标来设定位置，从而计算出速度和加速度等等。假设，在时间是 t {displaystyle t} 时，质点P的位置是 x {displaystyle x} ；经过 Δ t {displaystyle Delta t} 时间间隔后，时间是 t + Δ t {displaystyle t+Delta t} ，质点P的位置是 x + Δ x {displaystyle x+Delta x} 。那么，位移是 Δ x {displaystyle Delta x} 。质点P的平均速度 v ¯ {displaystyle {overline {v}}} 和瞬时速度 v {displaystyle v} 分别为∶质点P的平均加速度 a ¯ {displaystyle {overline {a}}} 和瞬时加速度 a {displaystyle a} 分别为：假设，质点P的位置是时间的函数 x = x ( t ) {displaystyle x=x(t)} ，则其速度、加速度分别为匀速直线运动的加速度是零，速度 v {displaystyle v} 是常数，位置是其中， x i {displaystyle x_{i}} 是初始位置， x f {displaystyle x_{f}} 是终结位置。等加速直线运动的加速度 a {displaystyle a} 是常数，位移与速度分别是其中， x i {displaystyle x_{i}} 是初始位置， x f {displaystyle x_{f}} 是终结位置， v i {displaystyle v_{i}} 是初始速度， v f {displaystyle v_{f}} 是终结速度。思考一个向上发射的物体；它将会往上直升，然后又落回到地面；它的轨迹全部都包含于同一条直线。假若认定朝上的方向为正值，那么，这物体将会体验到 -9.81m/s2的等加速度。这物体的运动是等加速直线运动。现在，请问几个关于这运动的有趣的问题：这物体会在空中运动多久时间？在它开始往下落以前，它会升到多高？当它碰到地面时，它的最终速度是多少？输入实际的数值，假设物体的最初速度是 +50 m/s。它会在空中多久时间？ 应用位移公式来计算时间：因为这物体先飞离开地面，然后又落回到地面，净位移是零：从这程式，可以求解到两个答案。第一个答案是零；虽然这明显解是正确的答案；但是，它代表的时间间隔是那物体开始移动前的时间间隔。离开地面与回到地面所需要的时间为在它开始往下落以前，它会飞到多高呢？当这物体升到最高点的时候，它的速度是零。所以可以应用速度平方公式，假设以地面为座标系统的原点，那么， x i {displaystyle x_{i}} 是零。 x f {displaystyle x_{f}} 则是最高高度：当它碰到地面时，它的最终速度会是多少？正当这物体从最高点往回落的时候，它的速度是零。因此，可以同样的用速度平方公式。带进 x i {displaystyle x_{i}} 的数质 127.55m：注意到初始速度与最终速度是等值的。这结果跟能量守恒定律相符合。定义质点在空间中沿着曲线的运动为“曲线运动”。曲线运动的位置、速度、加速度等等，皆须用矢量来表示。参考右图，假设质点在时间 t {displaystyle t} 的位置是 r ( t ) {displaystyle mathbf {r} (t)} ；在间隔 Δ t {displaystyle Delta t} 时间后，位移是 Δ r {displaystyle Delta mathbf {r} } 、位置是 r ( t + Δ t ) {displaystyle mathbf {r} (t+Delta t)} ，则质点的速度是在 Δ t → 0 {displaystyle Delta tto 0} 极限得到的速度矢量，正切曲线于质点的位置。定义速率为速度的大小。假设这曲线从 r {displaystyle mathbf {r} } 到 r + Δ r {displaystyle mathbf {r} +Delta mathbf {r} } 的路径长度是 Δ s {displaystyle Delta s} ，则速率为假设质点在间隔 Δ t {displaystyle Delta t} 时间的速度差是 Δ v {displaystyle Delta mathbf {v} } ，则加速度是求解曲线运动问题时，选择合适的坐标系是一项非常重要的步骤。运动所遭遇到的约束、或作用力的几何特性，往往是决定合适坐标的主要因素。假设，限制一粒串珠只能绕圆环移动，那么，以圆心为顶点，包含串珠与圆环的另一点的角，其角弧可能是合适的坐标。类似地，假设施加于质点的作用力是连心力，则合适的坐标系可能是极坐标系。三维空间的直角坐标系有三个坐标轴：x-轴、y-轴、z-轴。采用直角坐标系，位置、速度、加速度表示为其中， x {displaystyle x} 、 y {displaystyle y} 、 z {displaystyle z} 分别是质点的位置的三个分量，速度和加速度的三个分量分别为在二维空间里，极坐标系用半径坐标 r {displaystyle r} 、角坐标 θ {displaystyle theta } 来表示质点的位置。半径坐标是极点与质点的直线距离；角坐标是极点与质点的连线对于极轴的角弧。位置、速度、加速度分别表示为其中， r ^ {displaystyle {hat {mathbf {r} }}} 是半径单位矢量， θ ^ {displaystyle {hat {boldsymbol {theta }}}} 是角单位矢量。质点的“角位置”就是它的角坐标 θ {displaystyle theta } ，“角位移” Δ θ {displaystyle Delta theta } 则是质点在运动时前后角位置的差值，角速度的大小 ω {displaystyle omega } 是角位置对于时间的导数 ω = θ ˙ {displaystyle omega ={dot {theta }}} ，角加速度的大小 α {displaystyle alpha } 是角速度对于时间的导数：类似等加速直线运动，假设曲线运动的角加速度 α {displaystyle alpha } 是常数，则角位移与角速度分别是其中， θ i {displaystyle theta _{i}} 是初始角位置， θ f {displaystyle theta _{f}} 是终结角位置， ω i {displaystyle omega _{i}} 是初始角速度， ω f {displaystyle omega _{f}} 是终结角速度。如果一个物体不是垂直向上发射，而是与地平面呈 Φ {displaystyle Phi } 角度射出，那么，这物体会按照抛物线轨迹移动，它的水平运动与垂直运动可以各自独立计算。假设，这物体是以最初速率 v 0 = 50 m / s {displaystyle v_{0}=50m/s} ，与地平面呈 Φ = 30 ∘ {displaystyle Phi =30^{circ }} 角度射出。请问在碰到地面以前，它会在空中飞行多远？垂直方向，这物体会感觉到 − 9.81 m / s 2 {displaystyle -9.81m/s^{2}} 加速度；水平方向，不会感觉到有任何加速度。所以，水平位移是为要解答这问题，必须找到 t {displaystyle t} 值。这是可以做到的，只需分析垂直的运动。假设垂直位移为零，用类似前面直线运动的方法来找 t {displaystyle t} 值：现在求解 t {displaystyle t} 的表达式，代入原先的水平位移方程。在三维空间内，设定两个参考系：空间参考系S与旋转参考系R。空间参考系S的标准正交基为 x ^ {displaystyle {hat {mathbf {x} }}} 、 y ^ {displaystyle {hat {mathbf {y} }}} 、 z ^ {displaystyle {hat {mathbf {z} }}} 。旋转参考系R的标准正交基为 e ^ x {displaystyle {hat {mathbf {e} }}_{x}} 、 e ^ y {displaystyle {hat {mathbf {e} }}_{y}} 、 e ^ z {displaystyle {hat {mathbf {e} }}_{z}} 。两个参考系的原点共点。空间参考系S静止不动，旋转参考系R绕着固定轴 z ^ = e ^ z {displaystyle {hat {mathbf {z} }}={hat {mathbf {e} }}_{z}} 旋转。四个单位矢量 x ^ {displaystyle {hat {mathbf {x} }}} 、 y ^ {displaystyle {hat {mathbf {y} }}} 、 e ^ x {displaystyle {hat {mathbf {e} }}_{x}} 、 e ^ y {displaystyle {hat {mathbf {e} }}_{y}} 共平面。这旋转运动可以简化为一个二维平面运动。当计算质点的位置、速度、加速度之时，必须特别注意到旋转参考系R是在持续地旋转，单位矢量 e ^ x {displaystyle {hat {mathbf {e} }}_{x}} 、 e ^ y {displaystyle {hat {mathbf {e} }}_{y}} 也跟着旋转。在取这些单位矢量对于时间的导数时，必须顾虑到旋转运动。假设 e ^ x {displaystyle {hat {mathbf {e} }}_{x}} 和 e ^ y {displaystyle {hat {mathbf {e} }}_{y}} 以角速度 ω = ω z ^ {displaystyle {boldsymbol {omega }}=omega {hat {z}}} 绕着 z ^ {displaystyle {hat {z}}} 旋转，在初始时间 t = 0 {displaystyle t=0} ，则在时间 t {displaystyle t} ，两个单位矢量 e ^ x {displaystyle {hat {mathbf {e} }}_{x}} 、 e ^ y {displaystyle {hat {mathbf {e} }}_{y}} 对于时间的导数分别为对于含时矢量 F ( t ) = f x x ^ + f y y ^ = F x e ^ x + F y e ^ y {displaystyle mathbf {F} (t)=f_{x}{hat {x}}+f_{y}{hat {y}}=F_{x}{hat {mathbf {e} }}_{x}+F_{y}{hat {mathbf {e} }}_{y}} ，其对于时间的导数为设定 ( d F d t ) s p a c e = f ˙ x x ^ + f ˙ y y ^ {displaystyle left({frac {mathrm {d} mathbf {F} }{mathrm {d} t}}right)_{mathrm {space} }={dot {f}}_{x}{hat {mathbf {x} }}+{dot {f}}_{y}{hat {mathbf {y} }}} 、 ( d F d t ) r o t a t e = F ˙ x e ^ x + F ˙ y e ^ y {displaystyle left({frac {mathrm {d} mathbf {F} }{mathrm {d} t}}right)_{mathrm {rotate} }={dot {F}}_{x}{hat {mathbf {e} }}_{x}+{dot {F}}_{y}{hat {mathbf {e} }}_{y}} 分别为从空间参考系S、旋转参考系R观测到的矢量 F ( t ) {displaystyle mathbf {F} (t)} 对于时间的导数，上述方程可以表达为这方程的叉积项目可以这样理解：假设矢量 F {displaystyle mathbf {F} } 的尾部与空间参考系S的原点同点，矢量 F {displaystyle mathbf {F} } 以角速度 ω {displaystyle {boldsymbol {omega }}} 绕着固定轴 z ^ {displaystyle {hat {mathbf {z} }}} 旋转，则矢量 F {displaystyle mathbf {F} } 的头部的速度是 ω × F {displaystyle {boldsymbol {omega }}times mathbf {F} } 。矢量 F ( t ) {displaystyle mathbf {F} (t)} 是任意矢量，因此可以将 ( d d t ) s p a c e {displaystyle left({frac {mathrm {d} }{mathrm {d} t}}right)_{mathrm {space} }} 、 ( d d t ) r o t a t e {displaystyle left({frac {mathrm {d} }{mathrm {d} t}}right)_{mathrm {rotate} }} 当作算符，这样，对应的算符方程的形式为：假设，从空间参考系S观测，质点P的位置为而从旋转参考系R观测，同一质点P的位置为从空间参考系S观测，质点P的速度 v = x ˙ S   x ^ + y ˙ S   y ^ {displaystyle mathbf {v} ={dot {x}}_{S} {hat {mathbf {x} }}+{dot {y}}_{S} {hat {mathbf {y} }}} 为其中， v R   = d e f   ( d r d t ) r o t a t e = x ˙ R   e ^ x + y ˙ R   e ^ y {displaystyle mathbf {v} _{R} {stackrel {def}{=}} left({frac {mathrm {d} mathbf {r} }{mathrm {d} t}}right)_{mathrm {rotate} }={dot {x}}_{R} {hat {mathbf {e} }}_{x}+{dot {y}}_{R} {hat {mathbf {e} }}_{y}} 是从旋转参考系R观测到的质点P的速度。质点P的加速度为其中， α   = d e f   ( d ω d t ) s p a c e = ω ˙ z ^ {displaystyle {boldsymbol {alpha }} {stackrel {def}{=}} left({frac {mathrm {d} {boldsymbol {omega }}}{mathrm {d} t}}right)_{mathrm {space} }={dot {omega }}{hat {mathbf {z} }}} 是从空间参考系S观测到的旋转参考系R的角加速度。应用算符方程，其中， a R   = d e f   ( d v R d t ) r o t a t e = x ¨ R   e ^ x + y ¨ R   e ^ y {displaystyle mathbf {a} _{R} {stackrel {def}{=}} left({frac {mathrm {d} mathbf {v} _{R}}{mathrm {d} t}}right)_{mathrm {rotate} }={ddot {x}}_{R} {hat {mathbf {e} }}_{x}+{ddot {y}}_{R} {hat {mathbf {e} }}_{y}} 是从旋转参考系R观测到的质点P的加速度。总合起来，质点P的加速度 a = x ¨ S   x ^ + y ¨ S   y ^ {displaystyle mathbf {a} ={ddot {x}}_{S} {hat {mathbf {x} }}+{ddot {y}}_{S} {hat {mathbf {y} }}} 是这方程右手边第一个项目是从旋转参考系R观测到的质点P的加速度项目，第二个是科里奥利力项目，第三个是从空间参考系S观测到的旋转参考系R的角加速度项目，第四个是向心力项目。在物理学里，理想刚体是一种有限尺寸，可以忽略形变的固体。不论是否感受到外力，在刚体内部，点与点之间的距离都不会改变。根据相对论，这种物体不可能实际存在，但物体通常可以假定为完美刚体，前提是必须满足运动速度超小于光速的条件。刚体是由一群数量超多的质点组成。实际而言，不可能精确地追踪其中每一个质点的运动。为了简化运算，通常，整个刚体的空间位形可以简易地以参数设定：欧拉旋转定理表明，在三维空间里，假设约束刚体内部一点固定不动，则其任意位移等价于绕着某固定轴的一个旋转，而这固定轴必包含这固定点。换句话说，设定附体参考系B的原点为这固定点，则附体参考系B不会因为这位移而涉及任何平移运动，这位移等价于绕着某固定轴的一个旋转。当刚体移动时，它的位置与取向都可能会随着时间演进而改变。沙勒定理是欧拉旋转定理的一个推论。根据沙勒定理，刚体的最广义位移等价于一个平移加上一个旋转。因此，刚体运动可分为平移运动与旋转运动。刚体的现在位置与现在取向可以视为是从某个初始位置与初始取向经过平移与旋转而成。如右图所示，从时间 t 1 {displaystyle t_{1}} 到时间 t 2 {displaystyle t_{2}} ，当刚体在做平移运动时，任意内部两点，点P与点Q的轨迹（以黑色实线表示）相互平行，线段 P Q ¯ {displaystyle {overline {PQ}}} （以黑色虚线表示）的方向保持恒定。挑选刚体内部一点G来代表整个刚体，设定附体参考系B的原点于点G（称为“基点”），则从空间参考系S观测，在刚体内部任意一点P的位置 r P {displaystyle mathbf {r} _{P}} 为其中， r G {displaystyle mathbf {r} _{G}} 、 r P / G {displaystyle mathbf {r} _{P/G}} 分别是基点G的位置、点P对于基点G的相对位置。从附体参考系B观测，刚体内部每一点的位置都固定不变，但从空间参考系S观测，刚体从时间 t 1 {displaystyle t_{1}} 到时间 t 2 {displaystyle t_{2}} 的运动，可以分为基点G从 r G ( t 1 ) {displaystyle mathbf {r} _{G}(t_{1})} 到 r G ( t 2 ) {displaystyle mathbf {r} _{G}(t_{2})} 的平移运动，与位移 r P / G {displaystyle mathbf {r} _{P/G}} 从时间 t 1 {displaystyle t_{1}} 到时间 t 2 {displaystyle t_{2}} 的旋转运动。从不同的参考系观测刚体运动，可能会获得不同的平移速度和不同的角速度。为了确保测量结果具有实际物理意义，必需先给定参考系。刚体的平移速度是矢量，是其位置矢量的时间变化率，是附着于刚体的基点G的速度。对于纯平移运动（没有任何旋转运动），刚体内部所有点的移动速度相同。假设涉及旋转运动，则通常刚体内部任意两点的瞬时速度不相等；只有当它们恰巧处于同一直轴，而这直轴平行于转动瞬轴，则它们的瞬时速度相等。角速度也是矢量，描述刚体取向改变的角速率，和刚体旋转时的瞬时转轴的方向（欧拉旋转定理保证瞬时转轴的存在）。在任意时间，刚体内部每一个质点的角速度相同。假设一刚体呈纯旋转运动，旋转的角速度为 ω {displaystyle {boldsymbol {omega }}} ，其附体参考系B也会跟着旋转，因此，对于任意矢量 F {displaystyle mathbf {F} } ，从这附体参考系B与从空间参考系S观测，会得到不同的结果。设定 ( d F d t ) s p a c e {displaystyle left({frac {mathrm {d} mathbf {F} }{mathrm {d} t}}right)_{mathrm {space} }} 、 ( d F d t ) b o d y {displaystyle left({frac {mathrm {d} mathbf {F} }{mathrm {d} t}}right)_{mathrm {body} }} 分别为从空间参考系S、附体参考系B观测到的矢量 F ( t ) {displaystyle mathbf {F} (t)} 对于时间的导数，则项目 ω × F {displaystyle {boldsymbol {omega }}times mathbf {F} } 可以想像为，从空间参考系S观测，刚体内部位置矢量为 F {displaystyle mathbf {F} } 的质点，由于刚体旋转而产生的角速度。矢量 F ( t ) {displaystyle mathbf {F} (t)} 是任意矢量，因此可以将 ( d d t ) s p a c e {displaystyle left({frac {mathrm {d} }{mathrm {d} t}}right)_{mathrm {space} }} 、 ( d d t ) b o d y {displaystyle left({frac {mathrm {d} }{mathrm {d} t}}right)_{mathrm {body} }} 当作算符，这样，对应的算符方程的形式为：这算符方程可以作用于任意含时矢量。根据沙勒定理，刚体的最广义位移等价于一个平移加上一个旋转。挑选刚体内部一点G来代表整个刚体，设定附体参考系B的原点于基点G，则从空间参考系S观测，在刚体内部任意一点P的位置 r P {displaystyle mathbf {r} _{P}} 为其中， r G {displaystyle mathbf {r} _{G}} 、 r P / G {displaystyle mathbf {r} _{P/G}} 分别是基点G的位置、点P对于基点G的相对位置。点P的速度 v P = ( d r P d t ) s p a c e {displaystyle mathbf {v} _{P}=left({frac {mathrm {d} mathbf {r} _{P}}{mathrm {d} t}}right)_{mathrm {space} }} 为其中， v G = ( d r G d t ) s p a c e {displaystyle mathbf {v} _{G}=left({frac {mathrm {d} mathbf {r} _{G}}{mathrm {d} t}}right)_{mathrm {space} }} 、 v P / G = ( d r P / G d t ) s p a c e {displaystyle mathbf {v} _{P/G}=left({frac {mathrm {d} mathbf {r} _{P/G}}{mathrm {d} t}}right)_{mathrm {space} }} 分别是基点G的速度、点P对于基点G的相对速度。应用前段推导出的适用于任意含时矢量的算符方程，可以计算出 v P / G {displaystyle mathbf {v} _{P/G}} 。由于从附体参考系B观测，刚体内部每一点的位置都固定不变，项目 ( d r P / G d t ) b o d y {displaystyle left({frac {mathrm {d} mathbf {r} _{P/G}}{mathrm {d} t}}right)_{mathrm {body} }} 等于零：其中， ω {displaystyle {boldsymbol {omega }}} 是刚体的角速度矢量。所以，点P的速度为点P的加速度 a P = ( d v P d t ) s p a c e {displaystyle mathbf {a} _{P}=left({frac {mathrm {d} mathbf {v} _{P}}{mathrm {d} t}}right)_{mathrm {space} }} 为其中， a G = ( d v G d t ) s p a c e {displaystyle mathbf {a} _{G}=left({frac {mathrm {d} mathbf {v} _{G}}{mathrm {d} t}}right)_{mathrm {space} }} 、 a P / G = ( d v P / G d t ) s p a c e {displaystyle mathbf {a} _{P/G}=left({frac {mathrm {d} mathbf {v} _{P/G}}{mathrm {d} t}}right)_{mathrm {space} }} 分别是基点G的加速度、点P对于基点G的相对加速度。再应用前段推导出的算符方程，可以计算出其中， α = ( d ω d t ) s p a c e {displaystyle {boldsymbol {alpha }}=left({frac {mathrm {d} {boldsymbol {omega }}}{mathrm {d} t}}right)_{mathrm {space} }} 是附体参考系B旋转的角加速度矢量。“运动约束”指的是一个动态系统的运动必须符合的约束条件。以下列出一些例子：假若，一个圆柱形物体滚动于平面上，不做任何滑动运动（物体与平面之间，没有任何滑动摩擦），则这物体的运动称为“纯滚动”，其质心的速度 v c m {displaystyle mathbf {v} _{cm}} 必须符合约束条件：其中， ω {displaystyle {boldsymbol {omega }}} 是旋转的角速度， r c m / O {displaystyle mathbf {r} _{cm/O}} 是从物体与平面的接触点到物体质心的位移矢量。对于物体在滚动时不倾斜或不转弯的案例，这约束条件约化为当感受到张力的作用时，“无伸缩性绳子”不会因为张力的大小而改变绳子的长度。对于涉及无伸缩性绳子的物理问题，约束条件是绳子长度保持不变。