倒频谱

倒频谱（cepstrum），顾名思义，就是将频谱（spectrum）的英文前四个字母反过来写。倒频谱是为了某些时候，为了计算方便，将原来信号的频谱先转成类似分贝的单位，再作逆傅里叶变换，把它视为一种新的信号做处理。倒频谱有复数倒频谱，及实数倒频谱。

倒频谱被定义在1963的论文（Bogert等）。定义如下：

复数倒频谱拥有频谱大小跟相位的信息，实数倒频谱只有频谱大小的信息，各有各的不同应用。

${\displaystyle \stackrel{^<!--\; ^\; -->}{x}={\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{X}\left(F\right)e^{j2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}F}dF}$
其中${\displaystyle \stackrel{^<!--\; ^\; -->}{X}=\log <!--\; \; -->|X(F)|+j\arg <!--\; \; -->}$
可能遭遇的问题
1. ${\displaystyle \log <!--\; \; -->0=-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$
2. ${\displaystyle \arg <!--\; \; -->]}$有无限多的解
当输入是实数时,因为${\displaystyle \log <!--\; \; -->|X(F)|}$偶对称，${\displaystyle \arg <!--\; \; -->}$奇对称,所以复数倒频谱的值为实数

${\displaystyle C={\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\log <!--\; \; -->|X(F)|e^{j2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}Fn}dF}$
可能遭遇的问题
1. ${\displaystyle \log <!--\; \; -->0=-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$

频谱图上的独立变数是频率，而倒频谱图上的独立变数为倒频率(quefrency)，倒频率是一种时间的度量单位。举个例子，声音信号采样速率等于44100赫兹，在倒频谱上有个很大的值在倒频率等于100，代表实际上在44100/100=441赫兹有很大的值，这值出现在倒频谱上因为频谱上周期性出现，而频谱上出现的周期与倒频谱很大的值出现的位置有关。

滤波器(filter)常使用在频谱上，用来保存或删除我们所要或不要的信息，经过上面的许多讨论，不难猜到，倒滤波器(lifter)就是在倒频谱上所使用的滤波器。低通的倒滤波器跟低通滤波器有点类似，它可以借由在倒频谱上乘以一个window系数，使倒频谱上的高倒频率被压抑，如此依来，当信号转回时域空间时会变成一个较平滑的信号。

${\displaystyle \stackrel{^<!--\; ^\; -->}{x}={\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{X}\left(F\right)e^{j2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}F}dF}$
问题: ${\displaystyle \stackrel{^<!--\; ^\; -->}{X}\left(F\right)}$ 可能会无限大, 且对于arg(x)有无限多个解

先对信号做Z变换, 并整理一下系数, 让他变成下面的形式
${\displaystyle X\left(Z\right)=\frac{A{Z}^r\underset{k=1}{\overset{m_i}{\prod <!--\; \prod \; -->}}(1-<!--\; -\; -->a_k{Z}^{-<!--\; -\; -->1})\underset{k=1}{\overset{m_0}{\prod <!--\; \prod \; -->}}(1-<!--\; -\; -->b_{k}Z)}{\underset{k=1}{\overset{P_i}{\prod <!--\; \prod \; -->}}(1-<!--\; -\; -->c_k{Z}^{-<!--\; -\; -->1})\underset{k=1}{\overset{P_0}{\prod <!--\; \prod \; -->}}(1-<!--\; -\; -->d_{k}Z)}}$
其中${\displaystyle \left|a_k\right|,\left|b_k\right|,\left|c_k\right|,\left|d_k\right|\le <!--\; \le \; -->1}$

分子:
第一项A是系数
第二项${\displaystyle Z^r}$是延迟
第三项是位于单位圆内的零点
第四项是位于单位圆外的零点

分母:
第一项是位于单位圆内的极点
第二项是位于单位圆外的极点

对${\displaystyle X\left(Z\right)}$取log变成${\displaystyle \stackrel{^<!--\; ^\; -->}{X}\left(Z\right)}$
${\displaystyle \stackrel{^<!--\; ^\; -->}{X}\left(Z\right)=logX\left(Z\right)=\log <!--\; \; -->A+r\log <!--\; \; -->Z+\underset{k=1}{\overset{m_i}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\log <!--\; \; -->(1-<!--\; -\; -->a_k{Z}^{-<!--\; -\; -->1})+\underset{k=1}{\overset{m_0}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\log <!--\; \; -->(1-<!--\; -\; -->b_{k}Z)-<!--\; -\; -->\underset{k=1}{\overset{P_i}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\log <!--\; \; -->(1-<!--\; -\; -->c_k{Z}^{-<!--\; -\; -->1})-<!--\; -\; -->\underset{k=1}{\overset{P_0}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\log <!--\; \; -->(1-<!--\; -\; -->d_{k}Z)}$
假设r=0, 因为这只是延迟, 并不会破坏波形
根据Z变换所得到的系数, 我们可以利用泰勒展开得到Z的反变换


注意事项
1.${\displaystyle \stackrel{^<!--\; ^\; -->}{x}}$总是IIR(无限冲激响应)
2.对于FIR(有限冲激响应)的情况, ${\displaystyle c_k=0,d_k=0}$

${\displaystyle Z\cdot <!--\; \cdot \; -->{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{X}}^{\prime }\left(Z\right)=Z\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{X^{\prime }\left(Z\right)}{X\left(Z\right)}}$
${\displaystyle Z{X}^{\prime }\left(Z\right)=Z{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{X}}^{\prime }\left(Z\right)\cdot <!--\; \cdot \; -->X\left(Z\right)}$
对其做Z的反变换
${\displaystyle nx=\underset{k=-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}k\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{x}x}$
故
${\displaystyle x=\underset{k=-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{k}{n}\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{x}xforn\ne <!--\; \ne \; -->0}$

分别对于x的四种不同的状况做延伸
1.对于x是因果(causal)和最小相位(minimum phase) i.e.
对于${\displaystyle x=\underset{k=-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{k}{n}\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{x}xforn\ne <!--\; \ne \; -->0}$
可得出
${\displaystyle x=\underset{k=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{k}{n}\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{x}xforn>0}$
故
${\displaystyle x=\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{x}x+\underset{k=0}{\overset{n-<!--\; -\; -->1}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{k}{n}\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{x}x}$
2.对于x是最小相位(minimum phase)