拉普拉斯－德拉姆算子

✍ dations ◷ 2025-12-10 20:22:32 #微分算子,微分几何,黎曼几何

我们可以在微分流形的外代数上定义一个拉普拉斯微分算子。在黎曼流形上它是一个椭圆型算子，而在洛伦兹流形上是双曲型的。拉普拉斯–德拉姆算子（Laplace-de Rham operator）定义为

这里 d 是外导数而 δ 是余微分。当作用在数量函数上，余微分可以定义为 δ = − $*$ -形式的阶数有关的一个符号。

可以证明拉普拉斯–德拉姆算子作用在数量函数上时与前面的拉普拉斯–贝尔特拉米算子定义相同；细节参见证明。注意拉普拉斯–德拉姆算子事实上是负拉普拉斯–贝尔特拉米算子；这个符号来自定义余微分的习惯。不幸的是，两者都用 Δ 表示，经常成为混乱之源。

给定数量函数与，以及一个实数，拉普拉斯–德拉姆算子有如下性质：

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