完备群

✍ dations ◷ 2024-12-24 11:08:53 #代数小作品,群的性质

在数学的群论中,完备群(又称完全群,不过完全群也可以指另一种群)是指如下的一种群:是无中心群,并且的所有自同构都是内自同构,也就是说有平凡外自同构群和平凡中心。另一等价定义是将元素 g G {\displaystyle g\in G} 的中心,而其像是的所有内自同构;所以有平凡中心,则此群同态是单射,而所有自同构都是内自同构,则此群同态是满射。

对称群 S n {\displaystyle S_{n}} =2,6外,都是完备群。 S 2 {\displaystyle S_{2}} 有非平凡中心,而 S 6 {\displaystyle S_{6}} 有一个外自同构(与内自同构复合之异不别)。

任何完备群都同构于其自同构群。注意其逆命题不成立:有8个元素的二面体群同构于其自同构群,这个群却不是完备群。


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