超分辨率成像

超分辨率成像（Super-resolution imaging，缩写SR），是一种提高影片分辨率的技术。在一些称为“光学SR”的SR技术中，系统的衍射极限被超越；而在其他所谓的“几何SR”中，数位感光元件的分辨率因而提高。超分辨率成像技术用于一般图像处理和超高分辨率显微镜。

在2000年以来，小波变换的技术被使用在提高影像的分辨率。

DASR (Demirel-Anbarjafari Super Resolution)是使用离散小波变换（Discrete wavelet transform）来进行超分辨率成像的方法。当时，超分辨率成像通常是以内插影像的像素值来完成，而作者认为，对影像中的高频部分进行内插是造成品质降低的主要理由，因为内插高频部分让物体的边界变得模糊且平滑，于是提出使用离散小波变换的算法来减轻这个问题。

影像可以表示成二维的讯号，经过二维的离散小波变换，可以被分解成四个不同频段的影像，分别是：low-low (LL), low-high (LH), high-low (HL) 和 high-high (HH)，各自代表在不同维度是高频或低频，举例来说，LH就是在原影像的第一维(x轴)是低频而在第二维(y轴)是高频的分解后结果。

将原影像分解为LL, LH, HL和HH后，DASR会对高频段的三张影像LH, HL和HH分别做内插，以产生高分辨率的LH, HL和HH。这是由于作者认为，将不同的高频影像各自做内插，能够避免彼此干扰，进而保留更多的高频资讯。DASR不会内插LL，而是内插原图来当作高分辨率的LL，因为原图比LL含有更多资讯。取得四张高分辨率的LL, LH, HL和HH后，DASR将四张影像经过逆离散小波变换(Inversed discrete wavelet transform)，来生成最终的成像结果。

DASR当时在 Lena, Elaine, Pepper和Baboon上取得State-of-the-art的结果，并超越传统使用内插和其它使用离散小波变换的方法。

随着神经网络的流行，相关技术也被应用在提高图片分辨率。

SRCNN ( Super-resolution convolution neural network )是一个神经网络，输入是一个低分辨率（视觉上）的图像，而输出是一个高分辨率的图像，这里需要注意的是，在将图像喂进神经网络前，需要先经过一个预处理bicubic interpolation，将原始图片变成跟想要的高分辨率图像一样大小后，再喂进神经网络中。而神经网络做的事情，主要分成三个步骤区块特征抽取与表达（Patch extraction and representation）、非线性对应（non-linear mapping）以及重建（reconstruction）。

这一步就如同一般的CNN ( convolution neural network )，只是没有经过max-pooling，公式如下。

${\displaystyle Y}$代表已经经过bicubic interpolation的图像，${\displaystyle F_1(Y)}$则为这层神经网络的输出，${\displaystyle W_1}$代表${\displaystyle n_1}$个${\displaystyle c\times <!--\; \times \; -->f_1\times <!--\; \times \; -->f_1}$的filter（${\displaystyle c}$是图像的channel数量，而${\displaystyle f_1}$则为filter的大小），${\displaystyle \ast <!--\; \ast \; -->}$代表卷积（convolution），${\displaystyle B_1}$是偏移量（bias），最后的${\displaystyle max}$则代表激活函数RELU。

非线性对应，基本上就是持续利用一般CNN的方式将前一步每一块的${\displaystyle n_1}$维的特征向量，分别转换成${\displaystyle n_2}$维的特征向量，公式如下。

在重建的步骤中，我们要考虑的是每一个像素所要的值是多少，这个步骤可以想成在多个相关的高维度的特征向量中，取一个平均，很凑巧的，这刚好也很像一般的卷积层（convolution layer），公式如下。

在SRCNN中所采用的差异函数（Loss Function）是简单的平均方根差（Mean Square Error），定义为重建后的相片每一个像素与真正的图片的每一个像素的差异，公式如下。

${\displaystyle \mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}$为SRCNN的参数，${\displaystyle F(Y_i;\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})}$为给定的SRCNN重建${\displaystyle Y_i}$的图像，${\displaystyle X_i}$则为真正的高分辨率图像，${\displaystyle n}$为拿来训练神经网络的图像数量或者是一个batch中所有的图像数量。

这篇论文提供了一个做法，可以应用在图像风格转移（Style Transfer）以及超高分辨率（Super-resolution）。

整个系统由两个神经网络组成，其中一个是图像转移网络${\displaystyle f_W}$，另一个则是可以用来定义各种差异的差异网络${\displaystyle \mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}$。

图像转移网络的输入为一张图像，输出也是一张图像，而这个网络的参数以${\displaystyle W}$表示。

这个图像转移网络由5个residual block所组成，而所有非residual的convolution layer后面都会接上batch normalization。激活函数（activation function）的部分，除了在最后的输出层（output layer）使用scaled tanh使得输出的数值在0到255之间，其他都是使用RELU。

convolution layer的filter（kernel）的数量上，第一层和最后一层使用${\displaystyle 9\times <!--\; \times \; -->9}$个，其他层则是使用${\displaystyle 3\times <!--\; \times \; -->3}$个。

差异网络定义了各种差异函数（loss function），输入为两张图像，一张来自图像转移网络，一张则是真正的高分辨率影像，输出为一个实数（scalar）。

而这篇论文所使用的差异网络是16层的VGG网络，并事先利用Image Net训练过。差异函数的部分，使用了两个不同于传统简单的差异函数。（CHW代表feature map各个维度的数值）

这个差异函数的设计理念在于，当我们在看两张图片像不像时，我们并不是一个一个像素的比较，而是比较两张图片中的特征像不像。因此，他拿差异网络中某一层的输出，当作一个图片特征值，再以两张图片的特征值的Euclidean Distance当作差异。

除了一般的特征以外，我们也会需要图像转移网络正确的重建颜色、材质等等的内容，因此必须再加上风格重建差异函数。在定义风格重建差异之前，我们先定义Gram矩阵${\displaystyle G_j^{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}(x{)}_{c,c^{\prime }}}$。

接着差异函数就可以定义为

而一般比较每一个像素差异的差异函数，则可以写为

有了这两个网络后，训练图像转移网络的方法则是最小化各式差异函数的权重和（weighted sum），优化的方法是梯度下降法（Stochastic Gradient Descent（l()是差异函数（loss function）））。

这篇论文在高分辨率图像这个传统问题上，给了一个快速且有效的解法，快速的原因在于，在遇到一张新的图片时，只需要把图像喂进图像转移网络就好（一次forward pass）。而在结果上，也大大的超越了之前的做法（一样使用深度神经网络）SRCNN。