不可数集

不可数集（英语：uncountable set）是无穷集合中的一种。一个无穷集合和自然数集之间要是不存在一个双射，那么它就是一个不可数集。集合的不可数性与它的基数密切相关：如果一个集合的基数大于自然数的基数，那么它就是不可数的。不可数集有许多等价的定义。一个集合 X {displaystyle X} 是不可数集，当且仅当以下任何一个条件成立：不可数集的最广为人知的例子，是所有实数的集合 R {displaystyle mathbb {R} } ；对角论证法证明了这个集合是不可数的。对角论证法也可以用来证明一些其它的集合是不可数的，例如所有自然数的无穷序列的集合（甚至是所有只由0和1所组成的无穷序列的集合），以及自然数集合的所有子集所组成的集合。 R {displaystyle mathbb {R} } 的基数通常记为 c {displaystyle c} 、 2 ℵ 0 {displaystyle 2^{aleph _{0}}} ，或 ℶ 1 {displaystyle beth _{1}} 。康托尔集是 R {displaystyle mathbb {R} } 的一个不可数子集。它是一个分形，其豪斯多夫维大于零，但小于一（ R {displaystyle mathbb {R} } 的维数是一）。这是以下事实的一个例子：如果 R {displaystyle mathbb {R} } 的某个子集有严格大于零的豪斯多夫维，那么它一定是不可数的。另外一个不可数集的例子，是所有从 R {displaystyle mathbb {R} } 到 R {displaystyle mathbb {R} } 的函数的集合。这个集合比 R {displaystyle mathbb {R} } 更“不可数”，因为它的基数是 ℶ 2 {displaystyle beth _{2}} ，它比 ℶ 1 {displaystyle beth _{1}} 还要大。一个更加抽象的例子，是所有可数序数的集合，记为 Ω {displaystyle Omega } 或 ω 1 {displaystyle omega _{1}} 。 Ω {displaystyle Omega } 的基数记为 ℵ 1 {displaystyle aleph _{1}} 。利用选择公理，可以证明 ℵ 1 {displaystyle aleph _{1}} 是最小的不可数基数。于是，实数的基数 ℶ 1 {displaystyle beth _{1}} ，要么等于 ℵ 1 {displaystyle aleph _{1}} ，要么严格比它大。康托尔是第一个提出 ℶ 1 {displaystyle beth _{1}} 是否等于 ℵ 1 {displaystyle aleph _{1}} 的问题的人。在1900年，希尔伯特把这个问题作为他的23个问题之一。 ℵ 1 = ℶ 1 {displaystyle aleph _{1}=beth _{1}} 的陈述现在称为连续统假设，现已知道它独立于集合论的ZF公理（包括选择公理）。