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不可数集
✍ dations ◷ 2025-04-03 10:40:56 #不可数集
不可数集(英语:uncountable set)是无穷集合中的一种。一个无穷集合和自然数集之间要是不存在一个双射,那么它就是一个不可数集。集合的不可数性与它的基数密切相关:如果一个集合的基数大于自然数的基数,那么它就是不可数的。不可数集有许多等价的定义。一个集合
X
{displaystyle X}
是不可数集,当且仅当以下任何一个条件成立:不可数集的最广为人知的例子,是所有实数的集合
R
{displaystyle mathbb {R} }
;对角论证法证明了这个集合是不可数的。对角论证法也可以用来证明一些其它的集合是不可数的,例如所有自然数的无穷序列的集合(甚至是所有只由0和1所组成的无穷序列的集合),以及自然数集合的所有子集所组成的集合。
R
{displaystyle mathbb {R} }
的基数通常记为
c
{displaystyle c}
、
2
ℵ
0
{displaystyle 2^{aleph _{0}}}
,或
ℶ
1
{displaystyle beth _{1}}
。康托尔集是
R
{displaystyle mathbb {R} }
的一个不可数子集。它是一个分形,其豪斯多夫维大于零,但小于一(
R
{displaystyle mathbb {R} }
的维数是一)。这是以下事实的一个例子:如果
R
{displaystyle mathbb {R} }
的某个子集有严格大于零的豪斯多夫维,那么它一定是不可数的。另外一个不可数集的例子,是所有从
R
{displaystyle mathbb {R} }
到
R
{displaystyle mathbb {R} }
的函数的集合。这个集合比
R
{displaystyle mathbb {R} }
更“不可数”,因为它的基数是
ℶ
2
{displaystyle beth _{2}}
,它比
ℶ
1
{displaystyle beth _{1}}
还要大。一个更加抽象的例子,是所有可数序数的集合,记为
Ω
{displaystyle Omega }
或
ω
1
{displaystyle omega _{1}}
。
Ω
{displaystyle Omega }
的基数记为
ℵ
1
{displaystyle aleph _{1}}
。利用选择公理,可以证明
ℵ
1
{displaystyle aleph _{1}}
是最小的不可数基数。于是,实数的基数
ℶ
1
{displaystyle beth _{1}}
,要么等于
ℵ
1
{displaystyle aleph _{1}}
,要么严格比它大。康托尔是第一个提出
ℶ
1
{displaystyle beth _{1}}
是否等于
ℵ
1
{displaystyle aleph _{1}}
的问题的人。在1900年,希尔伯特把这个问题作为他的23个问题之一。
ℵ
1
=
ℶ
1
{displaystyle aleph _{1}=beth _{1}}
的陈述现在称为连续统假设,现已知道它独立于集合论的ZF公理(包括选择公理)。
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