计价标准

✍ dations ◷ 2025-07-13 14:15:39 #金融数学,股市,金融理论,随机过程

计价标准(英语:numéraire)是计算值的基本标准。在数理经济学中,它是一个可交易的经济实体,就价格而言,计价标准用来表示所有其他可交易品的相对价格。在货币经济学中,货币的其中一种功能即是扮演计价标准的角色。货币可以充当记账单位(英语:Unit of account),提供人们衡量各种商品和服务的价值的共同基准。无论是货币还是某些消费品,当只有价格是唯一攸关时,使用计价商品可以帮助比较价值,可参考一般均衡理论。在经济分析中,当我们指称一特定商品为计价标准,所有其他商品的价格将根据该计价商品进行“标准化”(normalization)。例如,如果一件商品 的市场价值为计价标准的两倍,则 的相对价格为2。由于每个单位的计价标准值相对于其自身的一个单位值是1,因此计价标准的恒为1。


在拥有交易证券的金融市场中,人们可以使用计价标准的变更来定价资产。例如,在时间为0时投资1美元于货币市场,则在时间为 t {\displaystyle t} 时符合此算式 M ( t ) = exp ( 0 t r ( s ) d s ) {\displaystyle M(t)=\exp \left(\int _{0}^{t}r(s)ds\right)} 。此外资产定价的基本定理(英语:Fundamental theorem of asset pricing)表明,所有按货币市场定价的资产 ( S ( t ) {\displaystyle S(t)} )是遵循风险中性措施(英语:risk-neutral measure)( Q {\displaystyle Q} )的鞅。那就是 S ( t ) M ( t ) = E Q t T . {\displaystyle {\frac {S(t)}{M(t)}}=E_{Q}\left\qquad \forall \,t\leq T.} 现在,假设 N ( t ) > 0 {\displaystyle N\left(t\right)>0} 是另一种完全正面的交易资产(也就是在按货币市场定价时是鞅)。

然后,透过拉东-尼科迪姆定理,我们可以定义一个新的概率测量 Q N {\displaystyle Q^{N}}

d Q N d Q = M ( 0 ) M ( T ) N ( T ) N ( 0 ) . {\displaystyle {\frac {dQ^{N}}{dQ}}={\frac {M(0)}{M(T)}}{\frac {N(T)}{N(0)}}.}

再借由拉东-尼科迪姆定理可以证明当新的计价标准 N ( t ) {\displaystyle N(t)} 定价时, S ( t ) {\displaystyle S(t)} Q N {\displaystyle Q^{N}} 下的鞅:

E Q N = E Q / E Q = M ( t ) N ( t ) E Q = M ( t ) N ( t ) S ( t ) M ( t ) = S ( t ) N ( t ) . {\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad E_{Q^{N}}\left\\&=E_{Q}\left/E_{Q}\left\\&={\frac {M(t)}{N(t)}}E_{Q}\left={\frac {M(t)}{N(t)}}{\frac {S(t)}{M(t)}}={\frac {S(t)}{N(t)}}.\end{aligned}}}

该技术在伦敦同业拆放利率(英语:LIBOR)和掉期交易的市场模型以及商品市场都具有许多重要的应用。Farshid Jamshidian(英语:Farshid Jamshidian)(1989)首先在赫尔怀特模型的背景下使用它来计算债券期权价格。格曼,妮可·厄尔·卡露伊和Rochet(1995)介绍了改变计价标准技术的一般形式框架。 有关更改计价标准工具包的信息,请参阅Brigo和Mercurio(2001)。

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