计价标准

✍ dations ◷ 2025-04-26 13:05:21 #金融数学,股市,金融理论,随机过程

计价标准（英语：numéraire）是计算值的基本标准。在数理经济学中，它是一个可交易的经济实体，就价格而言，计价标准用来表示所有其他可交易品的相对价格。在货币经济学中，货币的其中一种功能即是扮演计价标准的角色。货币可以充当记账单位（英语：Unit of account），提供人们衡量各种商品和服务的价值的共同基准。无论是货币还是某些消费品，当只有价格是唯一攸关时，使用计价商品可以帮助比较价值，可参考一般均衡理论。在经济分析中，当我们指称一特定商品为计价标准，所有其他商品的价格将根据该计价商品进行“标准化”（normalization）。例如，如果一件商品的市场价值为计价标准的两倍，则的相对价格为2。由于每个单位的计价标准值相对于其自身的一个单位值是1，因此计价标准的恒为1。

在拥有交易证券的金融市场中，人们可以使用计价标准的变更来定价资产。例如，在时间为0时投资1美元于货币市场，则在时间为 $t {\displaystyle t}$ $t$ 时符合此算式 $M(t)=\exp \left(\int _{0}^{t}r(s)ds\right)$ $M(t)=\exp \left(\int _{0}^{t}r(s)ds\right)$ 。此外资产定价的基本定理（英语：Fundamental theorem of asset pricing）表明，所有按货币市场定价的资产 ( $S(t)$ $S(t)$ )是遵循风险中性措施（英语：risk-neutral measure）( $Q {\displaystyle Q}$ $Q$ )的鞅。那就是 ${\frac {S(t)}{M(t)}}=E_{Q}\left\qquad \forall \,t\leq T.$ ${\frac {S(t)}{M(t)}}=E_{Q}\left\qquad \forall \,t\leq T.$ 现在，假设 $N\left(t\right)>0$ $N\left(t\right)>0$ 是另一种完全正面的交易资产（也就是在按货币市场定价时是鞅）。

然后，透过拉东-尼科迪姆定理，我们可以定义一个新的概率测量 $Q^{N}$ $Q^{N}$ ，

${\frac {dQ^{N}}{dQ}}={\frac {M(0)}{M(T)}}{\frac {N(T)}{N(0)}}.$ ${\frac {dQ^{N}}{dQ}}={\frac {M(0)}{M(T)}}{\frac {N(T)}{N(0)}}.$

再借由拉东-尼科迪姆定理可以证明当新的计价标准 $N(t)$ $N(t)$ 定价时， $S(t)$ $S(t)$ 是 $Q^{N}$ $Q^{N}$ 下的鞅：

${\begin{aligned}&{}\quad E_{Q^{N}}\left\\&=E_{Q}\left/E_{Q}\left\\&={\frac {M(t)}{N(t)}}E_{Q}\left={\frac {M(t)}{N(t)}}{\frac {S(t)}{M(t)}}={\frac {S(t)}{N(t)}}.\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}&{}\quad E_{Q^{N}}\left\\&=E_{Q}\left/E_{Q}\left\\&={\frac {M(t)}{N(t)}}E_{Q}\left={\frac {M(t)}{N(t)}}{\frac {S(t)}{M(t)}}={\frac {S(t)}{N(t)}}.\end{aligned}}$

该技术在伦敦同业拆放利率（英语：LIBOR）和掉期交易的市场模型以及商品市场都具有许多重要的应用。Farshid Jamshidian（英语：Farshid Jamshidian）（1989）首先在赫尔怀特模型的背景下使用它来计算债券期权价格。格曼，妮可·厄尔·卡露伊和Rochet（1995）介绍了改变计价标准技术的一般形式框架。有关更改计价标准工具包的信息，请参阅Brigo和Mercurio（2001）。

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