幂等

✍ dations ◷ 2025-07-01 09:37:48 #二元运算的性质,闭包算子

在数学里，幂等有两种主要的定义。

设 $S {\displaystyle S}$ 内各子集映射至闭包的函数在的幂集上是幂等的。这是闭包算子的一个例子；所有个闭包算子都会是幂等函数。

定义上，环的幂等元素为一相对于环乘法为幂等的元素。可以定义一于环幂等上的偏序：若和为幂等的，当 = = 时，标记为 ≤ 。依其顺序，0会是最小幂等元素，而1为最大幂等元素。

若在环内为幂等的，则一样会是个乘法单位元为的环。

两个幂等元素和被称为当==0。在此一情形下，+也是幂等的，且有 ≤ + 和 ≤ + 。

若在环内为幂等的，则 = 1 − 也会是幂等的，且和正交。

一在内的幂等元素称为，若对所有在内的，=。在此情形之下，会是个乘法单位元为的环。的核心幂等元素和的分解为环的直和有很直接的关接。若为环₁、...、的直和，则环的单位元在内为核心幂等的，相互正交，且其总和为1。相反地，给出内给相互正交且总和为1的核心幂等元素₁、...、，则会是环₁、...、的直和。所有较有趣的是，每一于内的核心幂等都会给出一的分解－和(1 − )的直和。

任一不等于0和1的幂等元素都是零因子(因为(1 − ) = 0)。这表示了整环及除环都不会存在此种幂等元素。局部环也没有此种幂等元素，但理由有点不同。唯一包含于一环的雅各布森根内的幂等元素只有0。共四元数环内会有一幂等元素组成的悬链曲面。

元素都幂等的环称做布尔环。可证明在每一此类环内，乘法都是可交换的，且每一元素都有其各自的加法逆元。

幂等运算也可以在布尔代数内找到。逻辑和与逻辑或便都是幂等运算。

在线性代数里，投影是幂等的。亦即，每一将向量投射至一子空间V（不需正交）上的线性算子，都是幂等的。

一幂等半环为其（非乘法）为幂等的半环。

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