同调代数

同调代数是数学的一个分支，它研究同调与上同调技术的一般框架。

同调代数是一门相对年轻的学科，其源头可追溯到代数拓扑（单纯形同调）与抽象代数（合冲模）在十九世纪末的发展，这两门理论各自由庞加莱与希尔伯特开创。

同调代数的发展与范畴论的出现密不可分。大致说来，同调代数是（上）同调函子及其代数结构的研究。“同调”与“上同调”是一对对偶的概念，它们满足的范畴论性质相反（即：箭头反向）。数学很大一部分的内在构造可藉链复形理解，其性质则以同调与上同调的面貌展现，同调代数能萃取这些链复形蕴含的资讯，并表之为拓扑空间、层、群、环、李代数与C*-代数等等“具体”对象的（上）同调不变量。谱序列是计算这些量的有力工具。

同调代数肇始即在代数拓扑中扮演要角。其影响日渐扩大，目前已遍及交换代数、代数几何、代数数论、表示理论、算子代数、偏微分方程与非交换几何。K-理论是一门独立的学科，它也采用同调代数的办法。

同调代数领域的基本对象是一个链复形${\displaystyle (A_{\bullet <!--\; \bullet \; -->},d_{\bullet <!--\; \bullet \; -->})}$₀, ₁, ₂……。它们通过一系列同态 : →_-1相连，使得每两个连接的映射的合成为零：对所有有 o ₊₁ = 0（有时迳写作${\displaystyle d^2=0}$。一个上链复形${\displaystyle (A^{\bullet <!--\; \bullet \; -->},d^{\bullet <!--\; \bullet \; -->})}$0, 1, 2……。它们由一系列同态 : →+1相连，使得任何两个接连的映射的合成为零：对所有有+1 o = 0：

关于链复形的种种定义可以照搬至上链复形；实质上，我们仅须将原定义中的所有箭头反转。例如上链复形的上同调群定义为：

形式地说，同调代数可定义为链复形与上链复形的抽象研究。以下我们将看到它的具体根源。

同调代数的根源之一在代数拓扑，而后者的历史则可上溯至十九世纪中。早在黎曼关于阿贝尔簇的工作中，就已考虑过黎曼曲面上的闭曲线是否为一块区域的边界的问题；根据斯托克斯定理，闭形式在这类闭曲线上的积分恒为零，而这类曲线的多寡显然牵涉到曲面的拓扑性状。黎曼依此定义了“连通数”——用现代的语言表述即是${\displaystyle 1+\dim <!--\; \; -->H_1(X;\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})}$及其后续工作真正奠定了代数拓扑学的基础。他考虑的对象是后来所谓的单纯复形，这类空间在同胚的意义下可剖分为多面体，它包含了微分拓扑中处理的大多数有限维空间。庞加莱考虑一个单纯复形${\displaystyle X}$；${\displaystyle M_1}$标示了同调代数的成熟。书中的概念与工具影响之深广，成为各领域数学家们不可须臾离的生活资料。以下举出数点例子：

一直到1970年代，嘉当与艾伦伯格的著作都是同调代数的圣经，同时期受欢迎的教本还有麦克兰恩的，格罗滕迪克的《代数几何基础》与东北论文。

嘉当在1980年接受牛津大学荣誉博士时，曾用拉丁文写下这么一段话：

亚历山大·格罗滕迪克在1955年左右对韦伊猜想发生兴趣，而真正勾动他的是此猜想的上同调表述；格罗滕迪克为此开始研习同调代数，当时嘉当-艾伦伯格的书尚未出版。嘉当与艾伦伯格仅考虑模构成的范畴。格罗滕迪克在1956年一封给塞尔的信中写道：

这封信铺陈了后来所谓的梗概。空间的上同调系指层上同调，当时是以Čech上同调或细层分解定义的；而所谓细层是一类带有单位分解的层，因此只在仿紧空间（当时称作可分空间）上有细层分解；这对微分几何与复几何不成问题，但对一般的代数簇则是致命缺陷。塞尔回复道：

格罗滕迪克遂着手重写同调代数的基础。

这条思路在他于1957年发表于《东北数学杂志》的论文中开花结果。原本区区数页的简单定义变为102页的范畴论论证，谣传他因此花了两年才找到地方刊登；但后续发展证明他的努力与收获是相称的。论文提出的重要观念如下：

格罗滕迪克借此将层上同调化为导函子的特例，阿贝尔范畴也成为同调代数的标准语言。

格罗滕迪克在1961年左右面临一个技术瓶颈：为了为任意概形上的凝聚层建立对偶定理，必须为同调代数发展新工具。这个任务由他的学生让-路易·韦迪耶（Jean-Louis Verdier）完成了。

Verdier在1967年的博士论文中引入了三角范畴与导范畴的观念。约略地说，三角范畴是一种能制造长正合序列与上同调函子的范畴；一个阿贝尔范畴${\displaystyle \mathcal{A}}$末章：。

庞加莱研究拓扑的方法是将空间剖分为多面体，这时空间的拓扑性质完全决定于这些点、线、面……等等[“单纯形”及其间的相交关系。将这套方法抽象化，便可对任何范畴${\displaystyle \mathcal{A}}$定义单纯形对象（及其对偶上单纯形对象）。在${\displaystyle \mathcal{A}}$为集合范畴的情形特别有用，此时的单纯形对象称为单纯形集合（及其对偶上单纯形集合）。对单纯形集合可定义其几何实现，这是一个CW-复形。对于来自一个源自拓扑空间的单纯形集合，几何实现不外是将空间“拼回去”；而对源于代数构造的单纯形集，几何实现则能用以构造分类空间。在单纯形集合上可以抽象地开展同伦论的研究。

另一方面，若取${\displaystyle \mathcal{A}}$为一阿贝尔范畴，对任一单纯形对象${\displaystyle A}$皆可定义一个链复形${\displaystyle N(A)}$。此时单纯形对象与链复形的关系由以下定理阐明：

Dold-Kan对应定理（1957年）。函子${\displaystyle N}$给出范畴间的等价

透过这个对应，单纯形集合理论可助同调代数一臂之力，例如我们可借此定义更广义的导函子，或得到某类对象的典范分解。

源于同调论的古典同调代数只给出“可交换”的资讯。对于空间${\displaystyle X}$上的非交换群层${\displaystyle G}$，古典方法只能定义第一个上同调${\displaystyle H^1(X;G)}$；这个集合分类了${\displaystyle X}$上的扭子。数学家们尝试定义高阶的非交换上同调，这方面的理论常牵涉到同伦理论、单纯形集合，或者高阶的范畴论（如叠论）。

就模型范畴的观点，同调代数可被视为同伦理论的一支。这是Daniel Quillen将模型范畴理论称作同伦代数的原因。