斐惹尔斯函数

斐惹尔斯函数（Ferrers Functions）是连带勒让德方程的实数解，分为第一类斐惹尔斯函数和第二类斐惹尔斯函数。分别定义如下

${\displaystyle P_v^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}(x)=(\frac{1+x}{1-<!--\; -\; -->x}{)}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}/2}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{F(v+1,-<!--\; -\; -->v;1-<!--\; -\; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->};1/2-<!--\; -\; -->x/2)}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(1-<!--\; -\; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->})}}$

${\displaystyle Q_v^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}(x)=(cos(\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\ast <!--\; \ast \; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->})\ast <!--\; \ast \; -->(\frac{1+x}{1-<!--\; -\; -->x}{)}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}/2}\frac{)F(v+1,-<!--\; -\; -->v;1-<!--\; -\; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->};1/2-<!--\; -\; -->2/x)}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(1-<!--\; -\; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$

${\displaystyle P_v^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}(x)={\left(-<!--\; -\; -->\frac{1+x}{-<!--\; -\; -->1+x}\right)}^{1/2\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}\mathit{H}\mathit{e}\mathit{u}\mathit{n}\mathit{C}\left(0,-<!--\; -\; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->},2v+1,0,v+1/2+v^2,\frac{-<!--\; -\; -->1+x}{1+x}\right){\left({\left(1/2+1/2x\right)}^{v+1}\right)}^{-<!--\; -\; -->1}{\left(\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}\left(1-<!--\; -\; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\right)\right)}^{-<!--\; -\; -->1}}$