卡伦数

卡伦数是形式如${\displaystyle n\times <!--\; \times \; -->2^n+1}$（写作${\displaystyle C_n}$）的自然数。

若质数${\displaystyle p=8k-<!--\; -\; -->3=2n-<!--\; -\; -->1}$，${\displaystyle C_n}$能被${\displaystyle p}$整除。根据费马小定理，若p是奇质数，${\displaystyle p}$能整除${\displaystyle C_{m(k)}}$对于${\displaystyle m(k)=(2^k-<!--\; -\; -->k)(p-<!--\; -\; -->1)-<!--\; -\; -->k}$ (对于${\displaystyle k>0}$)。

广义卡伦数有时定义为${\displaystyle n\times <!--\; \times \; -->b^n+1}$而且${\displaystyle n+2>b}$。胡道尔数有时称为第二种卡伦数。

1905年，詹姆士·卡伦首先研究它。

1958年Raphael M. Robinson核实${\displaystyle C_{141}}$是质数，且证明了若${\displaystyle n\le <!--\; \le \; -->1000}$，除了${\displaystyle C_1}$和${\displaystyle C_{141}}$之外，${\displaystyle C_n}$均为合成数。

1984年Wilfrid Cellar又类似地核实了${\displaystyle C_{4713},C_{5795},C_{6611},C_{18496}}$ 和以上提到的卡伦质数之外，${\displaystyle n\le <!--\; \le \; -->30000}$的${\displaystyle C_n}$均为合成数。

截止2009年4月，已知的卡伦质数有141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899, 1354828 (OEIS:A005849)，n=1354000以下的卡伦质数已被找到。可是，“存在无限个卡伦质数”这问题仍属猜想。

是否存在质数${\displaystyle p}$使得${\displaystyle C_p}$为质数同样为疑问。