归纳维数

✍ dations ◷ 2025-07-09 20:52:35 #维度,维度论

在数学的拓扑学中,归纳维数是对拓扑空间定义的两种维数,分别为小归纳维数ind()与大归纳维数Ind()。在维欧几里得空间R中,一个球的边界是有 - 1维的球面。以这个观察为基础,利用一个空间中适合的开集的边界维数,应当可以归纳定义出空间的维数。

这两种维数是只靠空间的拓扑来定义,无需用到空间的其他性质(比如度量)。拓扑空间的一般常用维数有三种,有大小归纳维数,以及勒贝格覆盖维数。通常说“拓扑维数”是指勒贝格覆盖维数。对于“足够好”的空间,这三种维数都相等。

我们想定义一个点的维数是0,而点的边界是空的,因此首先定义

然后,归纳定义的小归纳维数ind()为最小的整数,使得对中任何点,及任何包含的开集,都存在一个包含的开集,使得的闭包是的子集,的边界的小归纳维数小于或等于 - 1。

对于的大归纳维数Ind()的定义,增加选取的限制如下:Ind()为最小的整数,使得对中任何开集,及的任何闭子集,都存在一个包含的开集,使得的闭包是的子集,的边界的大归纳维数 - 1。

设dim为勒贝格覆盖维数。对任何拓扑空间,有

乌雷松定理指出,若是正规空间,及有可数基,则

这种空间正是可分及可度量化空间。(参见乌雷松度量化定理。)

Nöbeling-Pontryagin定理指出有限维数的这种空间,其特征为同胚于欧几里得空间中的子空间,子空间用通常的拓扑。Menger-Nöbeling定理(1932)说若是紧致及度量可分,且有维数,则可以嵌入到2 + 1维欧几里得空间成为子空间。(Georg Nöbeling(英语:Georg Nöbeling)是Karl Menger(英语:Karl Menger)的学生。他引入了Nöbeling空间,是R2 + 1的一个子空间,由至少 + 1个座标是无理数的点所组成,这个空间有与维空间嵌入相关的一些泛性质。)

若只假设是可度量化,则有(Miroslav Katětov(英语:Miroslav Katětov))

若只假设是紧致豪斯多夫空间,则有(P. S. Aleksandrov)

以上的不等式都可能是严格的;Vladimir V. Filippov有个例子显示两种归纳维数可以不相等。

一个可分度量空间的大归纳维数Ind ≤ ,当且仅当中任何闭空间及任何连续映射 f : A S n {\displaystyle f:A\to S^{n}} ,都存在一个连续扩张 f ¯ : X S n {\displaystyle {\bar {f}}:X\to S^{n}}

相关

  • 在科学领域的扩张学术出版(英语:academic publishing)是出版业的一个分支,范围涵盖学术研究领域。大多数学术成果都以期刊论文、书籍等形式被出版。大多数科学技术方面的期刊、书籍,都需要经过同
  • 莱茵-鲁尔都会区北莱茵-威斯特法伦莱茵-鲁尔都会区(德语:Metropolregion Rhein-Ruhr)是德国最大的都市区,拥有超过1100万人口,拥有多个中心都市。莱茵鲁尔区面积7110平方公里,位于北莱茵-威斯特法
  • 首钢工学院首钢工学院是中华人民共和国北京市的一所工科高等院校,主要为首都钢铁培养专业人才。1999年以后,该校主要招收高等职业教育(专科)层次的学生。
  • 孔祥瑞孔祥瑞(1955年-),天津市人,现任天津港煤码头公司孔祥瑞操作队党支部书记。后被评为“全国劳动模范”。
  • 发胶《发胶》(英语:Hairspray)是一部2007年出品的美国歌舞片。此片改编自2002年上演的同名百老汇音乐剧,而音乐剧本身,则又是改编自1988年由约翰·华特斯执导的同名电影。《发胶》剧
  • 赫伯特·贝克赫伯特·贝克爵士(英语:Sir Herbert Baker,1862年-1946年),英国建筑师,从1892年到1912年的20年,主导了南非的建筑。他设计了南非的普利托里亚的工会大厦;并与埃德温·鲁琴斯合作规划
  • 大天蚕蛾大天蚕蛾(二名法:),又名大孔雀蛾、巨皇蛾、维也纳巨皇蛾。原产于欧洲,是天蚕蛾属(英语:Saturnia)下的一个种。大天蚕蛾的翼展可达15-20cm,是欧洲地区最大的蛾类。大天蚕蛾活动于伊比
  • 尼道利卡兰尼道利卡兰(Nidhauli Kalan),是印度北方邦Etah县的一个城镇。总人口7500(2001年)。该地2001年总人口7500人,其中男性4125人,女性3375人;0—6岁人口1293人,其中男745人,女548人;识字率48
  • 冈格阿普城冈格阿普城(Gangapur City),是印度拉贾斯坦邦Sawai Madhopur县的一个城镇。总人口96794(2001年)。该地2001年总人口96794人,其中男性51619人,女性45175人;0—6岁人口16084人,其中男85
  • 眠狂四郎卍字斩‘眠狂四郎卍字斩’(眠狂四郎卍斬り)为1969年上映的时代剧,原作为柴田炼三郎,松方弘树担任主演“眠狂四郎系列”的后续作品。