归纳维数

在数学的拓扑学中，归纳维数是对拓扑空间定义的两种维数，分别为小归纳维数ind()与大归纳维数Ind()。在维欧几里得空间R中，一个球的边界是有 - 1维的球面。以这个观察为基础，利用一个空间中适合的开集的边界维数，应当可以归纳定义出空间的维数。

这两种维数是只靠空间的拓扑来定义，无需用到空间的其他性质（比如度量）。拓扑空间的一般常用维数有三种，有大小归纳维数，以及勒贝格覆盖维数。通常说“拓扑维数”是指勒贝格覆盖维数。对于“足够好”的空间，这三种维数都相等。

我们想定义一个点的维数是0，而点的边界是空的，因此首先定义

然后，归纳定义的小归纳维数ind()为最小的整数，使得对中任何点，及任何包含的开集，都存在一个包含的开集，使得的闭包是的子集，的边界的小归纳维数小于或等于 - 1。

对于的大归纳维数Ind()的定义，增加选取的限制如下：Ind()为最小的整数，使得对中任何开集，及的任何闭子集，都存在一个包含的开集，使得的闭包是的子集，的边界的大归纳维数 - 1。

设dim为勒贝格覆盖维数。对任何拓扑空间，有

乌雷松定理指出，若是正规空间，及有可数基，则

这种空间正是可分及可度量化空间。（参见乌雷松度量化定理。）

Nöbeling-Pontryagin定理指出有限维数的这种空间，其特征为同胚于欧几里得空间中的子空间，子空间用通常的拓扑。Menger-Nöbeling定理(1932)说若是紧致及度量可分，且有维数，则可以嵌入到2 + 1维欧几里得空间成为子空间。（Georg Nöbeling（英语：Georg Nöbeling）是Karl Menger（英语：Karl Menger）的学生。他引入了Nöbeling空间，是R2 + 1的一个子空间，由至少 + 1个座标是无理数的点所组成，这个空间有与维空间嵌入相关的一些泛性质。）

若只假设是可度量化，则有（Miroslav Katětov（英语：Miroslav Katětov））

若只假设是紧致豪斯多夫空间，则有（P. S. Aleksandrov）

以上的不等式都可能是严格的；Vladimir V. Filippov有个例子显示两种归纳维数可以不相等。

一个可分度量空间的大归纳维数Ind ≤ ，当且仅当中任何闭空间及任何连续映射${\displaystyle f:A\to <!--\; \to \; -->S^n}$，都存在一个连续扩张${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{f}:X\to <!--\; \to \; -->S^n}$。