藤村幸三郎的三角形问题

✍ dations ◷ 2025-04-03 17:20:02 #离散几何,数学中未解决的问题,趣味数学,三角形

藤村幸三郎的三角形问题(Kobon triangle problem)是一个离散几何上未解决的问题,该问题首先由藤村幸三郎(Kobon Fujimura)提出。这个问题问说“对k条线进行排列,则在此直线排列(Arrangement of lines)中,以这k条线为边且彼此不重叠的三角形最多有多少个?”。一些此问题的变体问的是在射影平面上的状况,且要求其中的三角形不能为该直线排列中的各线给穿过。

田村三郎证明说此问题的最大整数解之值不超过 k ( k 2 ) 3 {\displaystyle {\frac {k(k-2)}{3}}} = 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 15 和 17的状况下是已求出的 ;在 = 10, 11 和 12的状况下,目前已知的最佳解比其理论上界要小一个值。

借由使用佛吉(D. Forge)和罗米瑞兹─阿尔丰森(J. L. Ramirez Alfonsin)两氏提供的方法,在已知条线状况下的完美解的状况下,亦可知此问题对形如 k n + 1 = 2 k n 1 , {\displaystyle k_{n+1}=2\cdot k_{n}-1,\!\,} = 3时,在 = 3,5,9,17,33,65,...等的状况下,“对k条线进行排列,则在此直线排列(Arrangement of lines)中,以这k条线为边且彼此不重叠的三角形的数量的最大值”亦可求出。

三条直线的状况,此情况下为一三角形

四条直线的状况

五条直线的状况

六条直线的状况

七条直线的状况

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