藤村幸三郎的三角形问题

✍ dations ◷ 2025-04-03 17:20:02 #离散几何,数学中未解决的问题,趣味数学,三角形

藤村幸三郎的三角形问题（Kobon triangle problem）是一个离散几何上未解决的问题，该问题首先由藤村幸三郎（Kobon Fujimura）提出。这个问题问说“对k条线进行排列，则在此直线排列（Arrangement of lines）中，以这k条线为边且彼此不重叠的三角形最多有多少个？”。一些此问题的变体问的是在射影平面上的状况，且要求其中的三角形不能为该直线排列中的各线给穿过。

田村三郎证明说此问题的最大整数解之值不超过 ${\frac {k(k-2)}{3}}$ = 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 15 和 17的状况下是已求出的；在 = 10, 11 和 12的状况下，目前已知的最佳解比其理论上界要小一个值。

借由使用佛吉（D. Forge）和罗米瑞兹─阿尔丰森（J. L. Ramirez Alfonsin）两氏提供的方法，在已知条线状况下的完美解的状况下，亦可知此问题对形如 $k_{n+1}=2\cdot k_{n}-1,\!\,$ = 3时，在 = 3,5,9,17,33,65,...等的状况下，“对k条线进行排列，则在此直线排列（Arrangement of lines）中，以这k条线为边且彼此不重叠的三角形的数量的最大值”亦可求出。

三条直线的状况，此情况下为一三角形

四条直线的状况

五条直线的状况

六条直线的状况

七条直线的状况

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