正则变换生成函数

在哈密顿力学里，当计算正则变换时，生成函数扮演的角色，好似在两组正则坐标 ${\displaystyle (\mathbf{q},\mathbf{p})}$ ，${\displaystyle (\mathbf{Q},\mathbf{P})}$ 之间的一座桥。为了要保证正则变换的正确性 ，采取一种间接的方法，称为生成函数方法。这两组变数必须符合方程

其中，${\displaystyle \mathbf{q}=(q_1,q_2,\dots <!--\; \dots \; -->,q_N)}$ 是旧广义坐标，${\displaystyle \mathbf{p}=(p_1,p_2,\dots <!--\; \dots \; -->,p_N)}$ 是旧广义动量，${\displaystyle \mathbf{Q}=(Q_1,Q_2,\dots <!--\; \dots \; -->,Q_N)}$ 是新广义坐标，${\displaystyle \mathbf{P}=(P_1,P_2,\dots <!--\; \dots \; -->,P_N)}$ 是新广义动量，${\displaystyle \mathcal{H}(\mathbf{q},\mathbf{p},t),\mathcal{K}(\mathbf{Q},\mathbf{P},t)}$ 分别为旧哈密顿量与新哈密顿量，${\displaystyle G(-<!--\; -\; -->,-<!--\; -\; -->,t)}$ 是生成函数，${\displaystyle t}$ 是时间。

生成函数 ${\displaystyle G}$ 的参数，除了时间以外，一半是旧的正则坐标；另一半是新的正则坐标。视选择出来不同的变数而定，一共有四种基本的生成函数。每一种基本生成函数设定一种不同的变换，从旧的一组正则坐标变换为新的一组正则坐标。这变换 ${\displaystyle (\mathbf{q},\mathbf{p})\to <!--\; \to \; -->(\mathbf{Q},\mathbf{P})}$ 保证是正则变换。

第一型生成函数 ${\displaystyle G_1}$ 只跟旧广义坐标、新广义坐标有关，

代入方程 (1) 。展开生成函数对于时间的全导数，

新广义坐标 ${\displaystyle \mathbf{Q}}$ 和旧广义坐标 ${\displaystyle \mathbf{q}}$ 都是自变量，其对于时间的全导数 ${\displaystyle \stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathbf{Q}}}$ 和 ${\displaystyle \stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathbf{q}}}$ 互相无关，所以，以下 ${\displaystyle 2N+1}$ 个方程都必须成立：

这 ${\displaystyle 2N+1}$ 个方程设定了变换 ${\displaystyle (\mathbf{q},\mathbf{p})\to <!--\; \to \; -->(\mathbf{Q},\mathbf{P})}$ ，步骤如下：

第一组的 ${\displaystyle N}$ 个方程 (2) ，设定了 ${\displaystyle \mathbf{p}}$ 的 ${\displaystyle N}$ 个函数方程

在理想情况下，这些方程可以逆算出 ${\displaystyle \mathbf{Q}}$ 的 ${\displaystyle N}$ 个函数方程

第二组的 ${\displaystyle N}$ 个方程 (3) ，设定了 ${\displaystyle \mathbf{P}}$ 的 ${\displaystyle N}$ 个函数方程

代入函数方程 (5) ，可以算出 ${\displaystyle \mathbf{P}}$ 的 ${\displaystyle N}$ 个函数方程

从 ${\displaystyle 2N}$ 个函数方程 (5) 、(6) ，可以逆算出 ${\displaystyle 2N}$ 个函数方程

代入新哈密顿量 ${\displaystyle \mathcal{K}}$ 的方程 (4) ，可以得到

第二型生成函数 ${\displaystyle G_2}$ 只跟旧广义坐标 ${\displaystyle \mathbf{q}}$ 、新广义动量 ${\displaystyle \mathbf{P}}$ 有关 ：

代入方程 (1) 。展开生成函数随时间的全导数：

由于旧广义坐标 ${\displaystyle \mathbf{q}}$ 与新广义动量 ${\displaystyle \mathbf{P}}$ 必须彼此无关，以下 ${\displaystyle 2N+1}$ 方程必须成立：

这 ${\displaystyle 2N+1}$ 个方程设定了变换 ${\displaystyle (\mathbf{q},\mathbf{p})\to <!--\; \to \; -->(\mathbf{Q},\mathbf{P})}$ 。步骤如下：

第一组的 ${\displaystyle N}$ 个方程 (7) ，设定了 ${\displaystyle \mathbf{p}}$ 的函数方程

在理想情况下，这些方程可以逆算出 ${\displaystyle \mathbf{P}}$ 的函数方程

第二组的 ${\displaystyle N}$ 个方程 (8) ，设定了的函数方程

代入函数方程 (10) ，可以算出 ${\displaystyle \mathbf{Q}}$ 函数方程

由函数方程 (10) 、(11) ，可以算出函数方程

代入新哈密顿量的方程 (9) ，则可得到

第三型生成函数只跟旧广义动量 ${\displaystyle \mathbf{p}}$ 、新广义坐标 ${\displaystyle \mathbf{Q}}$ 有关：

以下 ${\displaystyle 2N+1}$ 方程设定了变换 ${\displaystyle (\mathbf{q},\mathbf{p})\to <!--\; \to \; -->(\mathbf{Q},\mathbf{P})}$ ：

第四型生成函数 ${\displaystyle G_4(\mathbf{p},\mathbf{P},t)}$ 只跟旧广义动量 ${\displaystyle \mathbf{p}}$ 、新广义动量 ${\displaystyle \mathbf{P}}$ 有关：

以下 ${\displaystyle 2N+1}$ 方程设定了变换 ${\displaystyle (\mathbf{q},\mathbf{p})\to <!--\; \to \; -->(\mathbf{Q},\mathbf{P})}$ ：

第一型生成函数有一个特别简易案例：

方程 (2) ，(3) ，(4) 的答案分别为

再举一个涉及第二型生成函数，比较复杂的例子。让

这里， ${\displaystyle \mathbf{g}}$ 是一组 ${\displaystyle N}$ 个函数。

答案是一个广义坐标的点变换，

有时候，可以将一个给定的哈密顿量，变成一个很像谐振子的哈密顿量，

例如，假若哈密顿量为

这里，${\displaystyle p}$ 是广义动量，${\displaystyle q}$ 是广义坐标。

一个优良的正则变换选择是

代入方程 (12) ，新哈密顿量的形式与谐振子的哈密顿量型式相同：

这变换用的是第三型生成函数 ${\displaystyle G_3(p,Q)}$ ；其对于 ${\displaystyle Q}$ 的导数是

代入方程 (13) 、(14) ，

对于 ${\displaystyle Q}$ 积分，可以得到生成函数 ${\displaystyle G_3}$ ：

最后，检查答案是否正确：