伊藤引理

在随机分析中，伊藤引理（Ito's lemma）是一条非常重要的性质。发现者为日本数学家伊藤清，他指出了对于一个随机过程的函数作微分的规则。

对于布朗运动${\displaystyle W_t}$关于的梯度，_X 是关于的黑塞矩阵，Tr是迹的符号。

我们也可以定义非连续随机过程的函数。

定义跳跃强度，根据跳跃的泊松过程模型，在区间${\displaystyle }$可以是常数、显含时间的确定性函数，或者是随机过程。在区间${\displaystyle }$时的值，记${\displaystyle d_{j}S(t)}$的概率分布，跳跃幅度的期望值是：

定义补偿过程和鞅${\displaystyle d{J}_S(t)}$以及跳跃前的自变量值${\displaystyle S(t^{-<!--\; -\; -->})}$。${\displaystyle g}$的跳跃部分是：

函数${\displaystyle g(S(t),t)}$的伊藤引理是：

可以看到，漂移-扩散过程与跳跃过程之和的伊藤引理，恰恰是各自部分伊藤引理的和。

伊藤引理可以用于推导布莱克-舒尔兹模型。假设一支股票的价格服从几何布朗运动${\displaystyle dS=\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}Sdt+\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}SdW}$，且其期权的价格是股票价格和时间的函数${\displaystyle V=f(t,S)}$。根据伊藤引理，有

整理可得

式中${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}S}dS}$项表明期权价格的波动等于持有${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}S}}$单位股票时的波动。在这个对应下，现金的部分应该以无风险利率${\displaystyle r}$增长，即

比较两式${\displaystyle dt}$项的系数，可得