自由粒子

✍ dations ◷ 2025-07-08 16:15:00 #基本物理概念,经典力学,量子力学

在物理学里,自由粒子是不被位势束缚的粒子。在经典力学里,一个自由粒子所感受到外来的合力是0。

假若,一个粒子的能量大于在任何地点 x {\displaystyle x\,\!} 的位势, E > V ( x ) {\displaystyle E>V(x)\,\!} ,不会被位势束缚,则称此粒子为自由粒子。更强版的定义,还要求位势为常数 V ( x ) = V 0 {\displaystyle V(x)=V_{0}\,\!} 。假若,一维空间分为几个区域,只有在每个区域内,位势为常数;在区域与区域之间,位势不相等,则称此粒子为半自由粒子。自由粒子或半自由粒子的能量大于位势, E > V ( x ) {\displaystyle E>V(x)\,\!} ,不会被位势束缚,能量不是离散能量谱的特殊值,而是大于或等于 V 0 {\displaystyle V_{0}\,\!} 的任意值。

本条目只论述强版定义的自由粒子。由于能量与位势都不是绝对值,可以设定位势为0,再根据新旧位势的差额,调整能量。

经典自由粒子的特点是它移动的速度 v {\displaystyle \mathbf {v} \,\!} 是不变的。它的动量 p {\displaystyle \mathbf {p} \,\!}

其中, m {\displaystyle m\,\!} 是粒子的质量。

能量 E {\displaystyle E\,\!}

描述一个非相对论性自由粒子的含时薛定谔方程为

其中, {\displaystyle \hbar } 是约化普朗克常数, Ψ ( r , t ) {\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)} 是粒子的波函数, r {\displaystyle \mathbf {r} } 是粒子的位置, t {\displaystyle t} 是时间。

这薛定谔方程有一个平面波解:

其中, k {\displaystyle \mathbf {k} } 是波矢, ω {\displaystyle \omega } 是角频率。

将这公式代入薛定谔方程,这两个变数必须遵守关系式

由于粒子存在的概率等于1,波函数 Ψ ( r , t ) {\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)\,\!} 必须归一化,才能够表达出正确物理意义。对于一般的自由粒子而言,这不是问题。因为,自由粒子的波函数,在位置或动量方面,都是局部性的。

动量的期望值是

能量的期望值是

代入波矢 k {\displaystyle \mathbf {k} \,\!} 与角频率 ω {\displaystyle \omega \,\!} 的关系方程,可以得到熟悉的能量与动量的关系方程:

波的群速度 v g {\displaystyle v_{g}\,\!} 定义为

其中, v {\displaystyle v\,\!} 是粒子的经典速度。

波的相速度 v g {\displaystyle v_{g}\,\!} 定义为

在量子力学里,一个自由粒子的动量与能量不必须拥有特定的值。自由粒子的波函数以波包函数表示为

其中,积分区域 K {\displaystyle \mathbb {K} } k {\displaystyle \mathbf {k} } -空间。

为了方便计算,只思考一维空间,

其中,振幅 A ( k ) {\displaystyle A(k)\,\!} 是量子叠加的系数函数。

逆反过来,系数函数表示为

其中, Ψ ( x ,   0 ) {\displaystyle \Psi (x,\ 0)\,\!} 是在时间 t = 0 {\displaystyle t=0\,\!} 的波函数。

所以,知道在时间 t = 0 {\displaystyle t=0\,\!} 的波函数 Ψ ( x ,   0 ) {\displaystyle \Psi (x,\ 0)\,\!} ,通过傅里叶变换,可以推导出在任何时间的波函数 Ψ ( x , t ) {\displaystyle \Psi (x,t)\,\!}

相对论性的自由粒子的量子行为,需要用特别的方程专门描述:

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