自由粒子

在物理学里，自由粒子是不被位势束缚的粒子。在经典力学里，一个自由粒子所感受到外来的合力是0。

假若，一个粒子的能量大于在任何地点${\displaystyle x}$的位势，${\displaystyle E>V(x)}$，不会被位势束缚，则称此粒子为自由粒子。更强版的定义，还要求位势为常数${\displaystyle V(x)=V_0}$。假若，一维空间分为几个区域，只有在每个区域内，位势为常数；在区域与区域之间，位势不相等，则称此粒子为半自由粒子。自由粒子或半自由粒子的能量大于位势，${\displaystyle E>V(x)}$，不会被位势束缚，能量不是离散能量谱的特殊值，而是大于或等于${\displaystyle V_0}$的任意值。

本条目只论述强版定义的自由粒子。由于能量与位势都不是绝对值，可以设定位势为0，再根据新旧位势的差额，调整能量。

经典自由粒子的特点是它移动的速度${\displaystyle \mathbf{v}}$是不变的。它的动量${\displaystyle \mathbf{p}}$是

其中，${\displaystyle m}$是粒子的质量。

能量${\displaystyle E}$是

描述一个非相对论性自由粒子的含时薛定谔方程为

其中，${\displaystyle \mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}$是约化普朗克常数，${\displaystyle \mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}(\mathbf{r},t)}$是粒子的波函数，${\displaystyle \mathbf{r}}$是粒子的位置，${\displaystyle t}$是时间。

这薛定谔方程有一个平面波解：

其中，${\displaystyle \mathbf{k}}$是波矢，${\displaystyle \mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}$是角频率。

将这公式代入薛定谔方程，这两个变数必须遵守关系式

由于粒子存在的概率等于1，波函数${\displaystyle \mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}(\mathbf{r},t)}$必须归一化，才能够表达出正确物理意义。对于一般的自由粒子而言，这不是问题。因为，自由粒子的波函数，在位置或动量方面，都是局部性的。

动量的期望值是

能量的期望值是

代入波矢${\displaystyle \mathbf{k}}$与角频率${\displaystyle \mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}$的关系方程，可以得到熟悉的能量与动量的关系方程：

波的群速度${\displaystyle v_g}$定义为

其中，${\displaystyle v}$是粒子的经典速度。

波的相速度${\displaystyle v_g}$定义为

在量子力学里，一个自由粒子的动量与能量不必须拥有特定的值。自由粒子的波函数以波包函数表示为

其中，积分区域${\displaystyle \mathbb{K}}$是${\displaystyle \mathbf{k}}$-空间。

为了方便计算，只思考一维空间，

其中，振幅${\displaystyle A(k)}$是量子叠加的系数函数。

逆反过来，系数函数表示为

其中，${\displaystyle \mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}(x,0)}$是在时间${\displaystyle t=0}$的波函数。

所以，知道在时间${\displaystyle t=0}$的波函数${\displaystyle \mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}(x,0)}$，通过傅里叶变换，可以推导出在任何时间的波函数${\displaystyle \mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}(x,t)}$。

相对论性的自由粒子的量子行为，需要用特别的方程专门描述：