沃尔什函数

✍ dations ◷ 2025-06-10 16:46:40 #特殊函数

沃尔什函数（英语：Walsh function，或称Walsh system）可以被看作一个和连续类比系统的三角波相对应的系统，可以说是离散而且数位版本的三角波。和三角波不同，沃尔什函数只有部分连续。这个函数的值域只有 −1 和 +1 两个值。有了沃尔什函数当作基础，当我们要进行类似于傅立叶转换的沃尔什转换时，不需要做在虚数值域上的浮点数计算，而能够减少计算量与误差。

不论是三角波，或是沃尔什函数都能透过周期性延伸至整个实数空间 $\mathbb {R}$ _j 和 _j 等于 1, 也分别是整数和实数的二进制表示。根据定义

特别得， $W_{0}(x)=1$ 都成立。

注意到 $W_{2^{m}}$ _m。因此拉德马赫系统是沃尔什系统的一个子集合。另外，每一个沃尔什函数都能透过拉德马赫函数的乘积得到。

费米子沃尔什系统是一个以"量子"版本的沃尔什系统。与后者不同，他包含了运算操作，而非函式。然而，两种系统有许多相同的重要功能，像是都是一个希尔伯特空间的标准正交基，或是在相对应空间的 Schauder basis（英语：Schauder basis）。在费米子沃尔什系统的元素被称做 "沃尔什操作元"。

${\boldsymbol {W_{2}}}={\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}$ ${\boldsymbol {W_{2}}}={\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}$

${\boldsymbol {W_{4}}}={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\\1&-1&1&-1\end{bmatrix}}$ ${\boldsymbol {W_{4}}}={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\\1&-1&1&-1\end{bmatrix}}$

${\boldsymbol {W_{8}}}={\begin{bmatrix}1&1&1&1&1&1&1&1\\1&1&1&1&-1&-1&-1&-1\\1&1&-1&-1&-1&-1&1&1\\1&1&-1&-1&1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1&1&-1&-1&1\\1&-1&-1&1&-1&1&1&-1\\1&-1&1&-1&-1&1&-1&1\\1&-1&1&-1&1&-1&1&-1\end{bmatrix}}.$ ${\boldsymbol {W_{8}}}={\begin{bmatrix}1&1&1&1&1&1&1&1\\1&1&1&1&-1&-1&-1&-1\\1&1&-1&-1&-1&-1&1&1\\1&1&-1&-1&1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1&1&-1&-1&1\\1&-1&-1&1&-1&1&1&-1\\1&-1&1&-1&-1&1&-1&1\\1&-1&1&-1&1&-1&1&-1\end{bmatrix}}.$

这些阿达玛转换的矩阵，其中每一行，都是一个沃尔什函数。

而阿达玛转换式子如下:

而得到阿达玛矩阵的方法如下:

Step 1 定义 $V_{2^{k+1}}={\begin{pmatrix}W_{2^{k}}&W_{2^{k}}\\W_{2^{k}}&-W_{2^{k}}\\\end{pmatrix}}$ $V_{2^{k+1}}={\begin{pmatrix}W_{2^{k}}&W_{2^{k}}\\W_{2^{k}}&-W_{2^{k}}\\\end{pmatrix}}$

Step 2 根据变号次数的奇偶性把 $V_{2^{k+1}}$ $V_{2^{k+1}}$ 转换成为 $W_{2^{k+1}}$ $W_{2^{k+1}}$

沃尔什函数和正余弦函数的比较，也可以看成沃尔什转换和傅立叶转换的比较:

${\begin{cases}{\begin{matrix}F\left&=&\sum _{n=0}^{N-1}W\leftf\left&&({\mbox{Forward}})\\f\left&=&\left({\frac {1}{N}}\right)\sum _{n=0}^{N-1}W\leftF\left&&({\mbox{Inverse}})\end{matrix}}\end{cases}},$ ${\begin{cases}{\begin{matrix}F\left&=&\sum _{n=0}^{N-1}W\leftf\left&&({\mbox{Forward}})\\f\left&=&\left({\frac {1}{N}}\right)\sum _{n=0}^{N-1}W\leftF\left&&({\mbox{Inverse}})\end{matrix}}\end{cases}},$

其中 $F\left$ $F\left$ 与 $f\left$ $f\left$ 分别都为行向量 (Column vector) 。

相关

非正常死亡非正常死亡在法医学上指由外部作用导致的死亡，包括火灾、溺水等自然灾难；或工伤、医疗事故、交通事故、自杀、他杀、受伤害等人为事故致死。与之相对的正常死亡，则指由内在的健
张　经张经（1957年10月－），中国化学海洋学与海洋生物地球化学家，出生于内蒙古自治区。籍贯山东龙口。华东师范大学教授、学术委员会副主任，中国科学院地学部院士。1982年毕业于南京大学并
足太阳膀胱经足太阳膀胱经，（BL，Bladder Meridian of Foot-Taiyang），十二正经之一，与足少阴肾经相表里。本经起于睛明，止于至阴，左右各67个腧穴，有49个穴位分布在头面部、项背部和腰背部，18个穴位分
尊皇攘夷尊王攘夷一词源自春秋时代，“尊王攘夷”一词最早见于《春秋公羊传》，该书是解释儒家经典《春秋》的三部专著之一。本意为“尊勤君王，攘斥外夷”，后来演化为具备复杂含义的政治术
爱尔兰马铃薯饥荒爱尔兰大饥荒（an Gorta Mór），俗称马铃薯饥荒，是一场发生于1845年至1852年间的饥荒。在这7年的时间内，英国统治下的爱尔兰人口锐减了将近四分之一；这个数目除了饿死，病死者，也包括了
梅斯蒂索人梅斯蒂索人（西班牙语：mestizo；葡萄牙语：mestiço），又译作麦士蒂索人或马斯提佐人，是西班牙语与葡萄牙语中的专有名词，曾于西班牙帝国与葡萄牙帝国使用，指的是欧洲人与美洲原住民祖先
西丰西丰县是辽宁省铁岭市下辖的一个县。下辖个8镇、4个乡、6个民族乡。西丰镇、平岗镇、郜家店镇、凉泉镇、振兴镇、安民镇、天德镇、房木镇、陶然乡、柏榆乡、德兴满族乡、钓
板面板面（Pan Mee）是马来西亚华人社区内最常见的面食料理之一，一般在茶餐室、美食中心、巴刹或路边摊都可见其踪迹。这道面食的最大的特色是小贩现点现做，小贩事先将面粉、水与盐和
爱情圣战爱情圣战（英语：Love Jihad），又称爱的圣战、罗密欧圣战（英语：Romeo Jihad）是2009年在印度兴起的阴谋论，指穆斯林有组织地通过恋爱、婚姻使其他信仰的女性皈依伊斯兰教。这一阴谋论后
格伦·米勒阿尔顿·格伦·米勒（Alton Glenn Miller，1904年3月1日－1944年12月15日失踪）是一位美国摇摆年代（英语：Swing Era）的爵士大乐团乐手、作曲人和乐队领袖。他是1939年至1943年间最畅销