沃尔什函数

✍ dations ◷ 2025-07-24 15:23:46 #特殊函数

沃尔什函数(英语:Walsh function,或称Walsh system)可以被看作一个和连续类比系统的三角波相对应的系统,可以说是离散而且数位版本的三角波。和三角波不同,沃尔什函数只有部分连续。这个函数的值域只有 −1 和 +1 两个值。有了沃尔什函数当作基础,当我们要进行类似于傅立叶转换的沃尔什转换时,不需要做在虚数值域上的浮点数计算,而能够减少计算量与误差。

不论是三角波,或是沃尔什函数都能透过周期性延伸至整个实数空间 R {\displaystyle \mathbb {R} } jj 等于 1, 也分别是整数 和实数 的 二进制 表示。根据定义

特别得, W 0 ( x ) = 1 {\displaystyle W_{0}(x)=1} 都成立。

注意到 W 2 m {\displaystyle W_{2^{m}}} m。因此拉德马赫系统是沃尔什系统的一个子集合。另外,每一个沃尔什函数都能透过拉德马赫函数的乘积得到。

费米子 沃尔什系统是一个以"量子"版本的沃尔什系统。与后者不同,他包含了运算操作,而非函式。然而,两种系统有许多相同的重要功能,像是都是一个希尔伯特空间的标准正交基,或是在相对应空间的 Schauder basis(英语:Schauder basis)。在费米子沃尔什系统的元素被称做 "沃尔什操作元"。

W 2 = {\displaystyle {\boldsymbol {W_{2}}}={\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}}

W 4 = {\displaystyle {\boldsymbol {W_{4}}}={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\\1&-1&1&-1\end{bmatrix}}}

W 8 = . {\displaystyle {\boldsymbol {W_{8}}}={\begin{bmatrix}1&1&1&1&1&1&1&1\\1&1&1&1&-1&-1&-1&-1\\1&1&-1&-1&-1&-1&1&1\\1&1&-1&-1&1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1&1&-1&-1&1\\1&-1&-1&1&-1&1&1&-1\\1&-1&1&-1&-1&1&-1&1\\1&-1&1&-1&1&-1&1&-1\end{bmatrix}}.}

这些阿达玛转换的矩阵,其中每一行,都是一个沃尔什函数。

而阿达玛转换式子如下:

而得到阿达玛矩阵的方法如下:

Step 1 定义 V 2 k + 1 = ( W 2 k W 2 k W 2 k W 2 k ) {\displaystyle V_{2^{k+1}}={\begin{pmatrix}W_{2^{k}}&W_{2^{k}}\\W_{2^{k}}&-W_{2^{k}}\\\end{pmatrix}}}

Step 2 根据变号次数的奇偶性把 V 2 k + 1 {\displaystyle V_{2^{k+1}}} 转换成为 W 2 k + 1 {\displaystyle W_{2^{k+1}}}

沃尔什函数和正余弦函数的比较,也可以看成沃尔什转换和傅立叶转换的比较:

{ F = n = 0 N 1 W f ( Forward ) f = ( 1 N ) n = 0 N 1 W F ( Inverse ) , {\displaystyle {\begin{cases}{\begin{matrix}F\left&=&\sum _{n=0}^{N-1}W\leftf\left&&({\mbox{Forward}})\\f\left&=&\left({\frac {1}{N}}\right)\sum _{n=0}^{N-1}W\leftF\left&&({\mbox{Inverse}})\end{matrix}}\end{cases}},}

其中 F {\displaystyle F\left} f {\displaystyle f\left} 分别都为行向量 (Column vector) 。

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