沃尔什函数

✍ dations ◷ 2025-05-21 00:06:20 #特殊函数

沃尔什函数（英语：Walsh function，或称Walsh system）可以被看作一个和连续类比系统的三角波相对应的系统，可以说是离散而且数位版本的三角波。和三角波不同，沃尔什函数只有部分连续。这个函数的值域只有 −1 和 +1 两个值。有了沃尔什函数当作基础，当我们要进行类似于傅立叶转换的沃尔什转换时，不需要做在虚数值域上的浮点数计算，而能够减少计算量与误差。

不论是三角波，或是沃尔什函数都能透过周期性延伸至整个实数空间 $\mathbb {R}$ _j 和 _j 等于 1, 也分别是整数和实数的二进制表示。根据定义

特别得， $W_{0}(x)=1$ 都成立。

注意到 $W_{2^{m}}$ _m。因此拉德马赫系统是沃尔什系统的一个子集合。另外，每一个沃尔什函数都能透过拉德马赫函数的乘积得到。

费米子沃尔什系统是一个以"量子"版本的沃尔什系统。与后者不同，他包含了运算操作，而非函式。然而，两种系统有许多相同的重要功能，像是都是一个希尔伯特空间的标准正交基，或是在相对应空间的 Schauder basis（英语：Schauder basis）。在费米子沃尔什系统的元素被称做 "沃尔什操作元"。

${\boldsymbol {W_{2}}}={\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}$ ${\boldsymbol {W_{2}}}={\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}$

${\boldsymbol {W_{4}}}={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\\1&-1&1&-1\end{bmatrix}}$ ${\boldsymbol {W_{4}}}={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\\1&-1&1&-1\end{bmatrix}}$

${\boldsymbol {W_{8}}}={\begin{bmatrix}1&1&1&1&1&1&1&1\\1&1&1&1&-1&-1&-1&-1\\1&1&-1&-1&-1&-1&1&1\\1&1&-1&-1&1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1&1&-1&-1&1\\1&-1&-1&1&-1&1&1&-1\\1&-1&1&-1&-1&1&-1&1\\1&-1&1&-1&1&-1&1&-1\end{bmatrix}}.$ ${\boldsymbol {W_{8}}}={\begin{bmatrix}1&1&1&1&1&1&1&1\\1&1&1&1&-1&-1&-1&-1\\1&1&-1&-1&-1&-1&1&1\\1&1&-1&-1&1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1&1&-1&-1&1\\1&-1&-1&1&-1&1&1&-1\\1&-1&1&-1&-1&1&-1&1\\1&-1&1&-1&1&-1&1&-1\end{bmatrix}}.$

这些阿达玛转换的矩阵，其中每一行，都是一个沃尔什函数。

而阿达玛转换式子如下:

而得到阿达玛矩阵的方法如下:

Step 1 定义 $V_{2^{k+1}}={\begin{pmatrix}W_{2^{k}}&W_{2^{k}}\\W_{2^{k}}&-W_{2^{k}}\\\end{pmatrix}}$ $V_{2^{k+1}}={\begin{pmatrix}W_{2^{k}}&W_{2^{k}}\\W_{2^{k}}&-W_{2^{k}}\\\end{pmatrix}}$

Step 2 根据变号次数的奇偶性把 $V_{2^{k+1}}$ $V_{2^{k+1}}$ 转换成为 $W_{2^{k+1}}$ $W_{2^{k+1}}$

沃尔什函数和正余弦函数的比较，也可以看成沃尔什转换和傅立叶转换的比较:

${\begin{cases}{\begin{matrix}F\left&=&\sum _{n=0}^{N-1}W\leftf\left&&({\mbox{Forward}})\\f\left&=&\left({\frac {1}{N}}\right)\sum _{n=0}^{N-1}W\leftF\left&&({\mbox{Inverse}})\end{matrix}}\end{cases}},$ ${\begin{cases}{\begin{matrix}F\left&=&\sum _{n=0}^{N-1}W\leftf\left&&({\mbox{Forward}})\\f\left&=&\left({\frac {1}{N}}\right)\sum _{n=0}^{N-1}W\leftF\left&&({\mbox{Inverse}})\end{matrix}}\end{cases}},$

其中 $F\left$ $F\left$ 与 $f\left$ $f\left$ 分别都为行向量 (Column vector) 。

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