带余除法

✍ dations ◷ 2025-09-14 12:42:20 #数论,算术,除法

带余除法(也称为欧几里德除法)是数学中的一种基本算术计算方式。给定一个被除数a和一个除数b,带余除法给出一个整数q和一个介于一定范围的余数r,使得下面等式成立:

一般限定余数的范围在0与b之间,也有限定在-b/2与b/2之间。这样的限定都是为了使得满足等式的q有且仅有一个。这时候的q称为带余除法的商。带余除法一般表示为:

表达为:“a除以b等于q,余r”。最常见的带余除法是整数与整数的带余除法(被除数a和除数b都是整数),但实数与整数乃至实数与实数的带余除法也有应用。对一般的抽象代数系统,能够进行带余除法的都是具有欧几里德性质的系统。如果余数为零,则称b整除a。一般约定除数b不能为0.

带余除法的计算有长久的历史,有各种计算工具和计算方法。最常用的是长除法(竖式除法)。带余除法在数论中有不少用途,比如说辗转相除法的基本步骤就是带余除法。

以下是整数带余除法的例子:依照公历,一年中的四月份有30天。每星期有7天,从四月的第一天开始,可以数出有四个星期,此外还有2天。如果要数出5个星期,则还差了5天。带余除法表示,就是:

里面的30是被除数,7是除数,4是带余除法得到的商,2是带余除法得到的余数。日常生活中说:“四月份有四个多星期”,是带余除法的结果。

另一个例子是分配问题。假设有30个苹果要分给7个人,每人分的要一样多,那么可以使用带余除法:

这说明每人可以分到4个,还剩余2个。如果每人分5个,则是不够的。每人如果只分3个,则还剩余9个,可以继续分。带余除法说明了在人人分到的要一样多的条件下,每人可以分到的最多苹果数目。

最基本的带余除法是整数与整数的带余除法,这时商和余数都是整数。实数与整数的带余除法,或实数与实数的带余除法,余数是实数,但不一定是整数。比如说讨论使用正弦函数构造的数列 { sin n n Z } {\displaystyle \{\sin {n}\mid n\in \mathbb {Z} \}} 使得 t i = t s {\displaystyle t_{i}=t_{s}} 的二进制数的前位,实际上就是它除以2的次幂后的商,而后位则是其余数。

原始的带余除法算法可以视为是重复使用减法的过程。设要计算a除以b,则在a里面不断地扣除b,直到不能继续扣除(满足余数范围)为止。以a、b都是正整数,余数范围为 { 0 , 1 , , b 1 } {\displaystyle \{0,1,\dots ,b-1\}} 两个多项式,其中不是零多项式。则存在由唯一确定的多项式,使得:

并且多项式是零多项式或者它的次数严格小于的次数,称为多项式带余除法的余元。:10

普通的整数或实数之间的带余除法可以良好定义。在更广泛的代数结构中,能够定义带余除法的代数结构被称为欧几里德整环。定义如下:

欧几里德整环中,使用一个额外的函数来比较两个元素之间的“大小”关系,从而能够定义带余除法。这个函数也称为范数。欧几里德整环必然是主理想整环因而也必然是唯一分解整环。:141:16-17

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