平面刚体运动

✍ dations ◷ 2025-07-27 12:10:36 #对称

平面刚体运动是一种在平面上进行的几何变换.反射变换和旋转变换等几何变换都有一个共同特点,即所谓“保距性”.也就是说,对于平面内任意两点P、Q,在反射(或某种几何变换)下对应的点是P'和Q',那么P'到Q'的距离,就等于PQ的距离.借用物理学上的刚体一词,我们把这种变换叫做:平面刚体运动.

设α是一个平面,映射

m:平面α→平面α

是一个一一映射,若m保持平面α内任意两点间的距离不变,则称m是一个平面刚体运动.

下面我们对上述定义做一个简单解释.任意一个平面刚体运动m:平面α→平面α都满足以下4条:

平移、旋转、反射是三种最常见的平面刚体运动.

保持距离不变是m的一个很强的性质。通过这一性质我们可以证明:只要知道不共线的三点A,B,C在m下的象A',B',C',m就完全确定下来了

平面刚体运动

m:平面α→平面α

将平面α内的直线映射成直线,射线映射成射线,线段映射成等长的线段。

证明:令l是平面α内的任意一条直线,设m把l上所有的点映到点集l'.在l上任取两点A,B,设m把它们分别映射到A',B'.下面证明l'是过A',B'的直线.在AB上任取一点C,设m把点C映射到点C'.

综上所述,由点A,B,C的任意性可知,l'是一条直线

证毕.

三角形在平面刚体运动的作用下,形状和大小都保持不变.

证明:设△ABC是平面α内的任意一个三角形,由已证明题可知,平面刚体运动

m:平面α→平面α

把线段AB,BC,AC依次映射成线段A'B',B'C',A'C',而且AB=A'B',BC=B'C',AC=A'C'.

由于AB+BC>AC,故A'B'+B'C'>A'C',所以AB,BC,CA,构成了一个以A,B,C为顶点的三角形,而且△ABC与△ABC全等.

证毕.

用类似的方法可证得:在平面刚体运动m的作用下,正n边形的大小和形状都保持不变.

m:平面α→平面α

是一个平面刚体运动,若在平面α内至少存在一个点O,点O在m的作用下保持不动,即m(O)=O,我们称m为有不动点的平面刚体运动.可以证明:只有反射变换和旋转变换是有不动点的平面刚体变换.

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