可分离变量的偏微分方程

✍ dations ◷ 2025-04-03 10:46:33 #可分离变量的偏微分方程

可分离变量的偏微分方程(PDE)是指一种偏微分方程,在求解时可以用分离变量法分离为一组阶数较低的微分方程。这一般是因为偏微分方程满足某种形式或是对称。因此可以利用求解一组较简单的偏微分方程来求解原问题,若可以简化为一维的问题,甚至可以用变成常微分方程。

分离变量法最常见的形式是其解可以假设为几个函数的积,而每个函数只有一个自变量。例如给予一个 n {displaystyle n} 元函数 F ( x 1 ,   x 2 ,   ,   x n ) {displaystyle F(x_{1}, x_{2}, dots , x_{n})} 的偏微分方程,猜想解答的形式为

这是一种特别的分离变量法,称为 R {displaystyle R} -分离变量法,此方式是将解写成和坐标有关的固定函数,以及以各坐标为自变量函数的乘积。 R n {displaystyle {mathbb {R} }^{n}} 上的拉普拉斯方程是一个可以用 R {displaystyle R} -分离变量法求解的偏微分方程的例子,在三维空间下会用六维球面坐标变换(英语:6-sphere coordinates)来求解。

偏微分方程的分离变量法和常微分方程的分离变量法不同,后者是指问题可以变成二个积分相等的形式。

例如,考虑非时变的薛定谔方程

针对函数 ψ ( x ) {displaystyle psi (mathbf {x} )} (为简化问题,其为无因次量)(等效的作法是考虑非齐次的亥姆霍兹方程)。若三维函数 V ( x ) {displaystyle V(mathbf {x} )} 形式如下

则此问题可以分解为三个一维的常微分方程,函数分别是 ψ 1 ( x 1 ) {displaystyle psi _{1}(x_{1})} ψ 2 ( x 2 ) {displaystyle psi _{2}(x_{2})} ψ 3 ( x 3 ) {displaystyle psi _{3}(x_{3})} ,最后的解可以写成 ψ ( x ) = ψ 1 ( x 1 ) ψ 2 ( x 2 ) ψ 3 ( x 3 ) {displaystyle psi (mathbf {x} )=psi _{1}(x_{1})cdot psi _{2}(x_{2})cdot psi _{3}(x_{3})} 。(薛定谔方程中可以分离变量求解的例子已由艾森哈特(Eisenhart)在1948年列举)。

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