庞特里亚金对偶性

在数学上，特别是在调和分析与拓扑群的理论中，庞特里雅金对偶定理解释了傅里叶变换的一般性质。它统合了实数线上或有限阿贝尔群上的一些结果，如：

此理论由庞特里亚金（Lev Pontryagin）首开，并结合了约翰·冯·诺伊曼与安德鲁·韦伊的哈尔测度理论，它依赖于局部紧阿贝尔群的对偶群理论。

一个拓扑群${\displaystyle G}$是整数。由于${\displaystyle \mathbb{T}}$是实数。借着这些对偶性，下节描述的傅里叶变换将符应于${\displaystyle \mathbb{R}}$

群代数的重要性质之一，在于这些线性泛函穷竭了群代数上所有非平凡（即：非恒零）的积性线性泛函。见文献中著作的第34节。

如前所述，一个局部紧阿贝尔群${\displaystyle G}$书中术语，我们称一对${\displaystyle G}$，当且仅当傅里叶反转公式成立。傅里叶变换之幺正性遂蕴含：对所有${\displaystyle G}$上的连续紧支集复数值函数${\displaystyle f}$都有

在平方可积函数空间上，我们考虑的傅里叶变换是透过上述幺正延拓得到的算子。对偶群本身也有个傅里叶逆变换；它可以刻划为傅里叶变换之逆（或其伴随算子，因为傅里叶变换是幺正的），这是以下傅里叶反转公式的内涵。

定理：取定一对相系哈尔测度${\displaystyle (\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->},\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->})}$；对于傅里叶变换在紧支集连续函数上的限制，其伴随算子是傅里叶逆变换：

庞特里亚金对偶定理的重要应用之一是下述刻划：

定理：一个局部紧阿贝尔群${\displaystyle G}$为紧，当且仅当对偶群${\displaystyle \stackrel{^<!--\; ^\; -->}{G}}$为离散。另一方面，${\displaystyle G}$为离散当且仅当${\displaystyle \stackrel{^<!--\; ^\; -->}{G}}$为紧。

对任何拓扑群，无论局部紧或交换与否，皆可定义玻尔紧化。上述对偶性的用处之一是刻划局部紧阿贝尔群的玻尔紧化。对一个局部紧阿贝尔群${\displaystyle G}$，考虑拓扑群${\displaystyle \stackrel{^<!--\; ^\; -->}{H}}$，其中${\displaystyle H}$就群结构而言是${\displaystyle \stackrel{^<!--\; ^\; -->}{G}}$，但带离散拓扑。由于下述包含映射

是个连续同态，其对偶同态

是个映至一个紧群的同态；可以证明它满足定义玻尔紧化的泛性质，因而${\displaystyle \stackrel{^<!--\; ^\; -->}{H}}$确为${\displaystyle G}$的玻尔紧化。

函子的观点对于研究对偶群是很有用的。以下将以LCA表示所有局部紧阿贝尔群及其间的连续群同态构成之范畴。

对偶群的构造${\displaystyle G\mapsto <!--\; \mapsto \; -->\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{G}}$给出一个对偶函子${\displaystyle \mathbf{L}\mathbf{C}\mathbf{A}\to <!--\; \to \; -->{\mathbf{L}\mathbf{C}\mathbf{A}}^{\mathrm{o}\mathrm{p}}}$。其二次迭代${\displaystyle G\mapsto <!--\; \mapsto \; -->G^{\wedge <!--\; \wedge \; -->\wedge <!--\; \wedge \; -->}}$遂给出函子${\displaystyle \mathbf{L}\mathbf{C}\mathbf{A}\to <!--\; \to \; -->\mathbf{L}\mathbf{C}\mathbf{A}}$。

定理：对偶函子是一个范畴等价。

定理：对偶函子的二次迭代自然同构于LCA上的恒等函子。

此同构可以类比于有限维向量空间的二次对偶（特别是实与复向量空间）。

庞特里亚金对偶性将离散群与紧群的子范畴交换。若${\displaystyle R}$是一个环，而${\displaystyle G}$是个左${\displaystyle R}$-模，则从对偶性可推知离散左${\displaystyle R}$-模与紧右${\displaystyle R}$-模对偶。LCA里的自同态环${\displaystyle \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}(G)}$依对偶性对应至其反环（即：环的乘法次序交换）。举例明之：取${\displaystyle G=\mathbb{Z}}$，则${\displaystyle \stackrel{^<!--\; ^\; -->}{G}=\mathbb{T}}$；前者满足${\displaystyle \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}(G)=\mathbb{Z}}$，对后者亦然。

对非交换群${\displaystyle G}$没有类似的理论，因为此时对偶的对象${\displaystyle \stackrel{^<!--\; ^\; -->}{G}}$={${\displaystyle G}$的不可约表示之同构类}不只有一维表示，因此不构成一个群。在范畴论中类似的推广称作Tannaka-Krein对偶定理；但它缺乏与调和分析的联系，因而无法处理关于${\displaystyle \stackrel{^<!--\; ^\; -->}{G}}$上的普朗歇尔测度的问题。

某些非交换群的对偶理论以C*-代数的语言表述。

庞特里亚金在1934年为局部紧阿贝尔群及其对偶性的理论奠下基础。他的进路须假定群是第二可数的，并且是紧群或离散群。此条件先后由E.R. van Kampen（1935年）与安德鲁·韦伊（1953年）改进为局部紧阿贝尔群。

下列书籍（可在大部分大学图书馆找到）都有局部紧阿贝尔群、对偶定理与傅里叶变换的相关章节。Dixmier的著作有非交换调和分析的材料，也有英译本。