布尔不等式

布尔不等式（Boole's inequality），由乔治·布尔提出，指对于全部事件的概率不大于单个事件的概率总和。对于事件A1、A2、A3、......：在测度论上，布尔不等式满足σ次可加性。布尔不等式可以用数学归纳法证明。对于1个事件：对于n个事件：令 A 1 , A 2 , ⋯ , A n {displaystyle A_{1},A_{2},cdots ,A_{n}} 是任意概率事件。 X {displaystyle X} 是各种事件 A i {displaystyle A_{i}} 的发生次数的随机变量。显然有：因为 X {displaystyle X} 是非负随机变量，应用马尔科夫不等式，取 a = 1 {displaystyle a=1} ，有：注意到 P ( X ⩾ 1 ) = P ( ⋃ i = 1 n A i ) {displaystyle P(Xgeqslant 1)=P(bigcup _{i=_{1}}^{n}A_{i})}布尔不等式可以推导出事件并集的上界和下界，其关系称为Bonferroni不等式 。定义：对于奇数k：对于偶数k：