Q阿佩尔函数

q阿佩尔函数（q-Appell function）又名q阿佩尔多项式（q-Appell polynomials）是数学家Jackson创立的阿佩尔函数的q模拟

《美国国家标准局数学函数手册》中给出的定义如下

q-阿佩尔函数是二变数超几何函数，共四个：

${\displaystyle {\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}^{(1)}(a;b,b^{\prime };c;x,y)=\underset{m,n>0}{\sum <!--\; \sum \; -->}}$${\displaystyle \frac{(a;q{)}_{m+n}\ast <!--\; \ast \; -->(b;q{)}_m\ast <!--\; \ast \; -->(b^{\prime };q{)}_n\ast <!--\; \ast \; -->x^m\ast <!--\; \ast \; -->y^n}{(q;q{)}_m\ast <!--\; \ast \; -->(q;q{)}_n\ast <!--\; \ast \; -->(c;q{)}_{m+n}}}$

${\displaystyle {\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}^{(2)}(a;b,b^{\prime };c;x,y)=\underset{m,n>0}{\sum <!--\; \sum \; -->}}$${\displaystyle \frac{(a;q{)}_{m+n}\ast <!--\; \ast \; -->(b;q{)}_m\ast <!--\; \ast \; -->(b^{\prime };q{)}_n\ast <!--\; \ast \; -->x^m\ast <!--\; \ast \; -->y^n}{(q;q{)}_m\ast <!--\; \ast \; -->(q;q{)}_n\ast <!--\; \ast \; -->(c;q{)}_{m+n}}}$

${\displaystyle {\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}^{(3)}(a,a^{\prime };b,b^{\prime };c;x,y)=\underset{m,n>0}{\sum <!--\; \sum \; -->}}$${\displaystyle \frac{(a,b;q{)}_m\ast <!--\; \ast \; -->(a^{\prime },b^{\prime };q{)}_n\ast <!--\; \ast \; -->x^m\ast <!--\; \ast \; -->y^n}{(q;q{)}_m\ast <!--\; \ast \; -->(q;q{)}_n\ast <!--\; \ast \; -->(c;q{)}_{m+n}}}$

${\displaystyle {\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}^{(4)}(a;b;c,c^{\prime };x,y)=\underset{m,n>0}{\sum <!--\; \sum \; -->}}$${\displaystyle \frac{(a,b;q{)}_{m+n}\ast <!--\; \ast \; -->x^m\ast <!--\; \ast \; -->y^n}{(q,c;q{)}_m\ast <!--\; \ast \; -->(q,c^{\prime };q{)}_n}}$

其中

为Q阶乘幂

${\displaystyle {\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}^{(2)}(a;b,b^{\prime };c,c^{\prime };x,y)=\frac{(b,ax;q{)}_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}}{(c,x,y;q{)}_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}}\sum <!--\; \sum \; -->(\sum <!--\; \sum \; -->\frac{(a,b^{\prime };q{)}_n(x;q{)}_r(c/a;q{)}_r}{(q,c^{\prime };q{)}_n(q{)}_r(ax;q{)}_{n+r}},m=\mathrm{1..}\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}),r=\mathrm{1..}\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})}$.