作用量-角度坐标

在经典力学里，作用量-角度坐标（action-angle coordinate）是一组正则坐标，通常在解析可积分系统 (Integrable system) 时，有很大的用处。应用作用量-角度坐标的方法，不需要先解析运动方程，就能够求得振动或旋转的频率。作用量-角度坐标主要用于完全可分的 哈密顿-亚可比方程（哈密顿量显性地不含时间，也就是说，能量保持恒定）。作用量-角度变数可以用来定义一个环面不变量。因为，保持作用量的不变设定了环的曲面，而角度是环面的另外一个坐标，粒子依照着角度，卷绕于环面。

在量子力学早期，波动力学发展成功之前，玻尔-索末菲量子化条件 (Bohr-Sommerfeld quantization) 是研究量子力学的利器。此条件阐明，作用量必须是普朗克常数常数的整数倍。爱因斯坦对于 Einstein-Brillouin-Keller action quantization 深刻的理解 与 非可积分系统 量子化的困难，都是以 作用量-角度坐标的环面不变量 来表达。

在哈密顿力学里，作用量-角度坐标也可以应用于摄动理论，特别是在决定缓渐不变量。关于一个自由度很小的动力系统的非线形摄动，混沌理论研究的最早的一个结果是 KAM theorem 。这定理阐明，对于微小摄动，环面不变量是稳定的。

作用量-角度坐标，对于户田晶格 (Toda field theory) 的解析，对于 Lax pairs 的定义，更广义地，对于一个系统同光谱 (isospectral) 演化的构想，都占有关键地位。

假设，在一个物理系统里，哈密顿量是保守的，也就是说，哈密顿量 ${\displaystyle \mathcal{H}}$ 不显含时间；

其中，${\displaystyle a_{\mathcal{H}}}$ 是运动常数，${\displaystyle \mathbf{q}}$ 是广义坐标，${\displaystyle \mathbf{p}}$ 是广义动量。

采用哈密顿特征函数 ${\displaystyle W(\mathbf{q};\mathbf{P})}$ 为正则变换的第二型生成函数。变换方程为

其中，${\displaystyle \mathbf{Q}}$ 是新广义坐标，${\displaystyle \mathbf{P}}$ 是新广义动量。

新哈密顿量 ${\displaystyle \mathcal{K}}$ 与旧哈密顿量 ${\displaystyle \mathcal{H}}$ 相等：

新广义动量的哈密顿方程为

所以，新广义动量是常数 ${\displaystyle \mathbf{a}}$ ：

假设，这物理系统的哈密顿-亚可比方程 ${\displaystyle \mathcal{H}\left(\mathbf{q},\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}W}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathbf{q}}\right)=a_{\mathcal{H}}}$ 为完全可分的，则哈密顿特征函数 ${\displaystyle W(\mathbf{q};\mathbf{P})}$ 可以分离为 ${\displaystyle n}$ 个函数 ${\displaystyle W_i}$ ：

哈密顿特征函数与新旧正则坐标的关系是

假若，粒子的运动是周期性运动，最常见的例子如振动或旋转都是周期性运动，则可以设计一个新正则坐标－作用量-角度坐标 ${\displaystyle (\mathbf{w},\mathbf{J})}$ 。定义作用量为

这闭路径积分的路径是粒子运动一周期的路径。

由于广义动量 ${\displaystyle p_i}$ 只跟 ${\displaystyle q_i}$ 、${\displaystyle \mathbf{a}}$ 有关，经过积分，作用量${\displaystyle J_i}$ 只跟 ${\displaystyle \mathbf{a}}$ 有关。所以，作用量矢量 ${\displaystyle \mathbf{J}}$ 只是个常数矢量。哈密顿特征函数可以表达为

虽然是同样的物理量，函数的参数不同，形式也不同。

定义角度 ${\displaystyle \mathbf{w}}$ 为

由于所有的广义坐标 ${\displaystyle q_i}$ 都相互独立，所有的广义动量 ${\displaystyle p_i}$ 也都相互独立，所以，所有的作用量 ${\displaystyle J_i}$ 都相互独立，作用量-角度坐标可以正确的用为正则坐标。这样，哈密顿特征函数可以用正则坐标作用量-角度坐标表达为

新哈密顿量 ${\displaystyle {\mathcal{K}}^{\prime }}$ 与旧哈密顿量 ${\displaystyle \mathcal{H}}$ 相等：

因为作用量 ${\displaystyle J_i=J_i(\mathbf{a})}$ 只是常数矢量，所以，

新哈密顿量 ${\displaystyle {\mathcal{K}}^{\prime }={\mathcal{K}}^{\prime }(\mathbf{J})}$ ，只跟作用量 ${\displaystyle \mathbf{J}}$ 有关，跟角度 ${\displaystyle \mathbf{w}}$ 无关。

角度 ${\displaystyle w_i}$ 随时间的导数 ${\displaystyle {\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}_i}$ ，可以用哈密顿方程决定：

每一个 ${\displaystyle J_i}$ 都是常数，所以，${\displaystyle {\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}_i(\mathbf{J})}$ 也是常数：

其中，${\displaystyle {\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_i}$ 是积分常数。

假设原本广义坐标 ${\displaystyle q_i}$ 的振荡或旋转的运动周期为 ${\displaystyle T_i}$ ，则其对应的角度变数 ${\displaystyle w_i}$ 的改变是 ${\displaystyle \mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}{w}_i={\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}_i{T}_i}$ 。进一步了解物理量 ${\displaystyle {\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}_i}$ 的性质，猜想 ${\displaystyle {\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}_i}$ 与广义坐标 ${\displaystyle q_i}$ 周期性运动的频率有关。可是，因为角度 ${\displaystyle w_i}$ 是广义坐标 ${\displaystyle \mathbf{q}}$ 与作用量 ${\displaystyle \mathbf{J}}$ 的函数，无法确定前面的猜想。为了证实这论点，计算周期 ${\displaystyle T_i}$ ：

新哈密顿量 ${\displaystyle {\mathcal{K}}^{\prime }(\mathbf{J})}$ 与旧哈密顿量 ${\displaystyle \mathcal{H}}$ 相等。所以，

假若 ${\displaystyle q_j}$ 是个循环坐标，那么，其共轭动量 ${\displaystyle p_j}$ 必是个常数，可以从作用量的定义积分内提出来：

其中，${\displaystyle \mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}$ 是 ${\displaystyle q_j}$ 运动一周期的值。

这样，

代入周期 ${\displaystyle T_i}$ 的公式，

肯定地，${\displaystyle {\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}_i}$ 是广义坐标 ${\displaystyle q_i}$ 的频率。

假若 ${\displaystyle q_j}$ 不是循环坐标，则不能将其共轭动量 ${\displaystyle p_j}$ 从作用量的定义积分内提出来，必须采用另外一个方法计算。从角度的定义，可以察觉角度 ${\displaystyle w_i}$ 跟广义坐标 ${\displaystyle \mathbf{q}}$ 、作用量 ${\displaystyle \mathbf{J}}$ 有关：

保持作用量不变，角度的虚位移 ${\displaystyle \mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{w}_i}$ 是：

在一个周期性物理系统里，每一个广义坐标 ${\displaystyle q_i}$ 都有它运动的周期 ${\displaystyle T_i}$ 。假若，其中有任何广义坐标的周期与别的广义坐标的周期不相同，则称此物理系统为多重周期性物理系统。假若，两个广义坐标的周期不同 ${\displaystyle T_1}$ 、${\displaystyle T_2}$ 。在做闭路径积分的时候，就必须使用使用一个新的周期 ${\displaystyle T}$ ，让闭路径积分能够开始与结束于同一点．假若，两个周期的比例是个有理数，则称这两个周期互相可通约的。设定新周期为

其中，${\displaystyle \frac{T}{T_1}}$ 、${\displaystyle \frac{T}{T_2}}$ 、${\displaystyle m_1}$ 、${\displaystyle m_2}$ ，都是正值的整数。

同样地，在多重周期性物理系统里，假若，每一个广义坐标的周期与其它的广义坐标的周期都是互相可通约的，则此系统是完全可通约的，称此系统为完全可通约系统。那么，新周期 ${\displaystyle T}$ 为

其中，${\displaystyle \frac{T}{T_i}}$ 、${\displaystyle m_i}$ ，都是正值的整数。

经过一个周期 ${\displaystyle T}$ ，角度 ${\displaystyle w_i}$ 的变化是：

由于作用量 ${\displaystyle J_i}$ 是个常数，可以将它从积分内提出：

所以，频率是

假若，有任何两个互相不可通约的广义坐标 ${\displaystyle q_i}$ 、${\displaystyle q_j}$ ，其周期 ${\displaystyle T_i}$ 、${\displaystyle T_j}$ 的比例是无理数。那么，${\displaystyle q_i}$ 不可能与 ${\displaystyle q_j}$