外推

✍ dations ◷ 2025-07-09 08:37:00 #外推

在数学中，外推（英语：extrapolation）是指从已知数据的孤点集合中构建新的数据的方法。与内插类似，但其所得的结果意义更小，而且更加受不确定性影响。

在市场学中，这种方法被用来预测未来产业走向。

线性外推在已知数据末端创建一条切线，并将其延伸。仅当用于延展近似线性的函数或延展区域离已有数据不远时，线性外推才是有效的。

如果使用离 ${displaystyle x_{*}}$ ${displaystyle x_{*}}$ 点最近的两个数据点 ${displaystyle (x_{k-1},y_{k-1})}$ ${displaystyle (x_{k-1},y_{k-1})}$ 和 ${displaystyle (x_{k},y_{k})}$ ${displaystyle (x_{k},y_{k})}$ 插值，线性外推的公式为：

${displaystyle y(x_{*})=y_{k-1}+{frac {x_{*}-x_{k-1}}{x_{k}-x_{k-1}}}(y_{k}-y_{k-1}).}$ $y(x_{*})=y_{{k-1}}+{frac {x_{*}-x_{{k-1}}}{x_{{k}}-x_{{k-1}}}}(y_{{k}}-y_{{k-1}}).$

此公式与线性内插是一样的。只是线性内插时， ${displaystyle x_{k-1}<x_{*}<x_{k}}$ $x_{{k-1}}<x_{*}<x_{k}$ ；线性外推时， ${displaystyle x_{*}<x_{k-1}}$ $x_{*}<x_{{k-1}}$ 或 ${displaystyle x_{k}<x_{*}}$ $x_{k}<x_{*}$ 。线性外推可能使用超过两个点，使用类似回归的技术，对选择包括的数据点进行线性插值的斜率平均化。这类似于线性预测。

构建贯穿所有已知数据或只在终点附近的多项式曲线（两点为线性外推（Linear extrapolation），三点为二次外推（Quadratic extrapolation）），构建的曲线可以延展到所有已知数据外。多项式外推通常使用拉格朗日内插法（Lagrange interpolation）或牛顿有限差分法（Newton's method of finite differences）实现，产生的多项式可以用于外推数据。

高阶的多项式外推必须谨慎使用，例如对于右图的数据，任何高于一阶（线性）的外推方法都可能产生不可用的值。外推值的误差会随着多项式的阶而增长，这与Runge现象有关。

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