随机偏微分方程

✍ dations ◷ 2025-07-11 14:50:58 #Stochastic differential equations,Partial differential equations,Mathematical fi

随机偏微分方程（英文：Stochastic partial differential equations (SPDEs)）类似于一般的随机微分方程。其本质上是带有随机项和随机系数的偏微分方程。随机微分方程在量子场论、统计力学、金融数学中有着广泛的应用。

One of the most studied SPDEs is the stochastic heat equation, which may formally be written as

where $\Delta$ $\Delta$ is the Laplacian and $\xi$ $\xi$ denotes space-time white noise.

One difficulty is their lack of regularity. In one space dimension, solutions to the stochastic heat equation are only almost 1/2-Hölder continuous in space and 1/4-Hölder continuous in time. For dimensions two and higher, solutions are not even function-valued, but can be made sense of as random distributions.

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