杰恩斯-卡明斯模型

杰恩斯-卡明斯模型（Jaynes–Cummings model (JCM)）是一个量子光学的理论模型。 这是一个描述双态系统和量化光腔(optical cavity)交互作用的模型，这种交互作用和光子的存在与否无关(在电磁辐射能造成光子自发性的放射与吸收)。它主要被运用在原子物理学，量子光学，固态量子信息电路的理论与实验上。

系统哈密顿量

由自由场哈密顿量，原子激发态哈密顿量，JCM哈密顿量组成：

为方便起见，设真空场能量为 ${\displaystyle 0}$.

其中：

通过把薛定谔绘景转换为相互作用绘景(又名旋转框架(rotating frame)) ，使得${\displaystyle \begin{array}{c}{H}_0={\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{H}}_{\text{field}}+{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{H}}_{\text{atom}}\end{array}}$，可以得到：

这个哈密顿量同时包含了两个部分：

为了求解这个方程，简化模型是再所难免的。注意到，当 ${\displaystyle \begin{array}{c}|{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_c-<!--\; -\; -->{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_a|\ll <!--\; \ll \; -->{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_c+{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_a\end{array}}$的时候，快速振荡的 “反向旋转”项（也就是快速震荡项）可被忽略，这被称为旋波近似。再将之转换回薛定谔绘景，JCM哈密顿量就变成了：

其中，

一般情况下，将哈密顿量拆分为2部分有助于对其进行求解:

其中，

${\displaystyle \begin{array}{c}\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}={\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_a-<!--\; -\; -->{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_c\end{array}}$ 称之为场与双态系统的失谐量（频率）。

为了更好地求解哈密顿量，把${\displaystyle \begin{array}{c}\begin{array}{c}{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{H}}_I\end{array}\end{array}}$的本征态转换成张量积 ${\displaystyle \begin{array}{c}|n,g⟩<!--\; ⟩\; -->,|n,e⟩<!--\; ⟩\; -->\end{array}}$（${\displaystyle \begin{array}{c}n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}\end{array}}$，表示模型中辐射量子的数量。）

对位任意正整数n，状态${\displaystyle \begin{array}{c}|{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_{1n}⟩<!--\; ⟩\; -->:=|n,e⟩<!--\; ⟩\; -->\end{array}}$ 与状态${\displaystyle \begin{array}{c}|{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_{2n}⟩<!--\; ⟩\; -->:=|n+1,g⟩<!--\; ⟩\; -->\end{array}}$会退化为${\displaystyle \begin{array}{c}{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{H}}_I\end{array}}$ ，${\displaystyle \begin{array}{c}{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{H}}_{\text{JC}}\end{array}}$ 足以在子空间${\displaystyle \begin{array}{c}\text{span}\{|{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_{1n}⟩<!--\; ⟩\; -->,|{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_{2n}⟩<!--\; ⟩\; -->\}\end{array}}$对角化。 ${\displaystyle \begin{array}{c}{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{H}}_{\text{JC}}\end{array}}$的元素属于${\displaystyle \begin{array}{c}{H}_{ij}^{(n)}:=⟨<!--\; ⟨\; -->{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_{in}|{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{H}}_{\text{JC}}|{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_{jn}⟩<!--\; ⟩\; -->\end{array}}$的子空间，表示为：

对于任意正整数n，能量本征态$\begin{array}{c}{H}^{(n)}\end{array}$为：

其中，${\displaystyle \begin{array}{c}{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}_n(\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->})=\sqrt{{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}^2+{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}^2(n+1)}\end{array}}$ 是拉比频率特殊的失谐参数。

含能量本征态 ${\displaystyle \begin{array}{c}|n,\pm <!--\; \pm \; -->⟩<!--\; ⟩\; -->\end{array}}$的特征值是：

其中，${\displaystyle \begin{array}{c}\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_n={\tan }^{-<!--\; -\; -->1}<!--\; \; -->\left(\frac{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}\sqrt{n+1}}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}\right)\end{array}}$

为了得到动量的一般情况。 首先考虑一个场叠加态的初态 ${\displaystyle \begin{array}{c}|{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_{\text{field}}(0)⟩<!--\; ⟩\; -->=\underset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}{C}_n|n⟩<!--\; ⟩\; -->\end{array}}$，若置一激发态原子于场内，则系统初态为：

其中 ${\displaystyle \begin{array}{c}|n,\pm <!--\; \pm \; -->⟩<!--\; ⟩\; -->\end{array}}$ 是该系统的定态, 含时状态向量是：

可以直接通过海森堡记法（Heisenberg notation）来确定幺正演化算符（unitary evolution operator） :

其中，定义算符${\displaystyle \stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}}$为

${\displaystyle \stackrel{^<!--\; ^\; -->}{U}}$的幺正(unitary )被恒等定义：

幺正算符可以计算被密度矩阵${\displaystyle \stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}(t)}$所描述的含时系统状态的演变，幺正算符包含了所有可观测量。给定初态${\displaystyle \stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}(0)}$，则有：

原子反转的量子震荡图像（二次反比失谐参数 ${\displaystyle \begin{array}{c}a=(\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}/(2g){)}^2=40\end{array}}$， 其中${\displaystyle \mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}$是失谐参数），基于 A.A. Karatsuba 和 E.A. Karatsuba 取得的基本公式。